第11章表現論入門 — SU(2)と角運動量

群を行列として「見える化」する

抽象的なリー群を具体的に扱うには、それを行列の群として実現するのが一番です。群 $G$ の元を、ベクトル空間 $V$ の線形変換（行列）に対応させる——これが表現。表現論の一般論をここでは深入りせず、リー群にとって最重要の例 $\mathrm{SU}(2)$ に焦点を絞ります。 $\mathrm{SU}(2)$ の表現論は、物理の角運動量・スピン そのものであり、リー理論の威力を最も鮮やかに見せてくれます。

戦略は一貫しています——群の表現を、リー環の表現に線形化して調べる（第7章）。 $\mathrm{SU}(2)$ の表現は、そのリー環 $\mathfrak{su}(2)$ （＝角運動量代数）の表現に帰着し、それは純粋に線形代数で分類できます。

表現＝群を行列で実現。リー群の表現はリー環の表現に線形化でき、 $\mathrm{SU}(2)$ では梯子演算子で完全に分類できる。

表現・既約表現

定義表現・既約表現

リー群 $G$ の表現とは、ベクトル空間 $V$ への準同型 $\rho:G\to\mathrm{GL}(V)$ 。 $0$ と $V$ 以外に不変部分空間をもたない表現を既約という。微分して得るリー環の表現 $d\rho:\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(V)$ （ $d\rho[X,Y]=[d\rho(X),d\rho(Y)]$ ）で調べる。

前章のマシュケ（コンパクト群の表現は既約の直和）により、 $\mathrm{SU}(2)$ の表現を理解するには既約表現をすべて見つければ十分。既約表現の一覧が、その群の“表現の周期表”になります。

su(2) の梯子演算子

$\mathfrak{su}(2)\cong\mathfrak{so}(3)$ のリー括弧は角運動量の交換関係でした（第4章）。物理の慣例で基底を $H,E,F$ （あるいは $J_z,J_+,J_-$ ）にとると、括弧が「上げ下げ」の形になり、既約表現を機械的に構成できます。

定義梯子演算子

$\mathfrak{su}(2)$ （複素化）の基底 $H,E,F$ を、交換関係

[H,E]=2E,\qquad [H,F]=-2F,\qquad [E,F]=H

にとる。 $E$ を上げ演算子、 $F$ を下げ演算子、 $H$ をウェイト作用素という。

$[H,E]=2E$ の意味が鍵です。 $H$ の固有ベクトル $v$ （固有値＝ウェイト $\lambda$ ）に $E$ を当てると、 $H(Ev)=(EH+2E)v=(\lambda+2)Ev$ —— $E$ はウェイトを $2$ 上げ、 $F$ は $2$ 下げる。だから固有ベクトルが $2$ 刻みの“梯子”に並ぶ。有限次元表現ではこの梯子が上下で止まり、その長さが表現を決めます。

定理 SU(2) の既約表現の分類

$\mathrm{SU}(2)$ の既約表現は、各次元 $n+1$ （ $n=0,1,2,\dots$ ）にちょうど一つずつ存在し、 $V_n$ と書ける。 $V_n$ では $H$ の固有値（ウェイト）が

n,\ n-2,\ n-4,\ \dots,\ -n

と $2$ 刻みで並ぶ（梯子）。物理ではスピン $j=n/2$ と呼び、次元 $2j+1$ 。

証明

有限次元既約表現で、 $H$ の最大固有値をもつ最高ウェイトベクトル $v$ （ $Ev=0$ ）をとる。 $F$ を繰り返し当てた $v,Fv,F^2v,\dots$ は固有値 $n,n-2,\dots$ の固有ベクトルで、有限次元ゆえどこかで $0$ になる。交換関係から、最高ウェイトを $n$ とすると梯子は $-n$ で止まり、次元 $n+1$ 。既約性・一意性も交換関係から従う。∎

たった三つの交換関係から、すべての既約表現が「最高ウェイト $n$ の梯子」として構成され、次元ごとに一つと分類される。抽象群 $\mathrm{SU}(2)$ の表現が、線形代数（固有値の梯子）だけで完全に決まる——リー環に線形化する戦略の勝利です。

角運動量とスピン——物理への直結

この分類は、そのまま量子力学です。 $V_n$ （スピン $j=n/2$ ）が、角運動量 $j$ の状態空間。

例スピンの周期表

$V_0$ （ $j=0$ 、次元 $1$ ）：スカラー（自明表現）。
$V_1$ （ $j=1/2$ 、次元 $2$ ）：スピン $1/2$ ——電子のスピン。 $\mathrm{SU}(2)$ の基本表現（ $2\times2$ 行列そのもの）。
$V_2$ （ $j=1$ 、次元 $3$ ）：ベクトル表現＝ $\mathrm{SO}(3)$ の回転（ $3$ 次元空間の回転）。
一般に $V_n$ は $2j+1$ 個の状態（磁気量子数 $m=-j,\dots,j$ ）。ウェイトが磁気量子数。

注意半整数スピンは SU(2) を要求する——第12章への橋

$j=1/2$ （ $V_1$ ）は $\mathrm{SU}(2)$ の表現だが、 $\mathrm{SO}(3)$ の表現にはならない（ $2\pi$ 回転で符号が反転し、一価にならない）。整数スピン $j=0,1,2,\dots$ だけが $\mathrm{SO}(3)$ の表現。半整数スピンは、 $\mathrm{SO}(3)$ を $2:1$ で覆う $\mathrm{SU}(2)$ （第7章）でしか実現できない。電子のスピン $1/2$ の存在が、 $\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(3)$ という二重被覆の物理的証拠。リー群の大域構造（被覆）が、素粒子の性質を決めている。

つまずきポイント

注意よくある誤解

群の表現をリー環の表現で調べる。 $\rho:G\to\mathrm{GL}(V)$ を微分して $d\rho:\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(V)$ 。線形代数に帰着。
梯子演算子でウェイトが $2$ 刻み。 $E$ が上げ、 $F$ が下げる。最高ウェイト $n$ から $-n$ まで。次元 $n+1$ 、スピン $j=n/2$ 。
半整数スピンは $\mathrm{SU}(2)$ のみ。 $\mathrm{SO}(3)$ の表現は整数スピンだけ。 $j=1/2$ は二重被覆 $\mathrm{SU}(2)$ で実現。大域構造が物理を左右する。
既約表現は次元ごとに一つ（ $\mathrm{SU}(2)$ ）。 各 $n$ に $V_n$ が一意。だから「スピンの周期表」が一列に並ぶ。

この章のまとめ

表現＝群を行列で実現 $\rho:G\to\mathrm{GL}(V)$ 。リー群の表現はリー環の表現に線形化して調べる。コンパクト群は既約の直和（前章）。
$\mathrm{SU}(2)$ の既約表現：梯子演算子 $E,F,H$ （ $[H,E]=2E$ 等）で、最高ウェイト $n$ から $-n$ まで $2$ 刻みの梯子として構成。各次元 $n+1$ に一つ、スピン $j=n/2$ 、状態数 $2j+1$ 。
物理直結： $V_1$ ＝電子のスピン $1/2$ 、 $V_2$ ＝空間ベクトル（ $\mathrm{SO}(3)$ 回転）。半整数スピンは二重被覆 $\mathrm{SU}(2)$ でしか実現できず、電子スピンが $\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(3)$ の物理的証拠。
最終章では、 $\mathrm{SU}(2)$ で見た「最高ウェイト・梯子」が一般の半単純リー群でどう展開するか（ルート系・分類）を展望し、分野全体をまとめます。

次章では、半単純リー環の分類（ルート系・ディンキン図形）とコンパクト群の一般論への展望を描き、リー群論を総括します。

第11章 表現論入門 — SU(2)と角運動量