⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第10章 コンパクト群とハール測度

群の上で「平均をとる」

第2章で「コンパクトかどうかが理論を分ける」と予告しました。ここでその意味が明らかになります。コンパクトな リー群には、群作用で不変な積分——ハール測度——があり、それを使って「群全体にわたる平均」がとれる。 この平均化が、表現論を驚くほどきれいにする魔法の道具です。

なぜ平均化が効くのか。有限群では、1∣G∣∑g∈G\frac1{|G|}\sum_{g\in G} という平均で、任意の対象を「群不変」なものに 均せました（表現論・群論のマシュケの定理）。コンパクト群は、この 有限和を積分 ∫G⋯ dg\int_G\cdots\,dg に置き換えることで、同じ議論を連続群へ持ち込みます。

コンパクト群には群作用で不変な積分（ハール測度）がある。「群全体で平均する」ことで、任意の構造を不変化できる。

ハール測度

定理 ハール測度の存在

コンパクトなリー群 GG には、両側不変な確率測度 dgdg（ハール測度）がただ一つ存在する： 任意の h∈Gh\in G と可積分関数 ff に対し

∫Gf(hg) dg=∫Gf(gh) dg=∫Gf(g) dg,∫Gdg=1.\int_G f(hg)\,dg=\int_G f(gh)\,dg=\int_G f(g)\,dg,\qquad \int_G dg=1.

「hghg に置き換えても積分が変わらない」——群のどこを基準にしても同じように測れる、平行移動不変な測度 （R\mathbb R 上のルベーグ測度、測度論の平行移動不変性のリー群版）。コンパクトなので 全体の測度を 11 に正規化でき、確率測度になります。これが「群全体の平均」∫G⋯ dg\int_G\cdots\,dg を可能にします。

例 ハール測度の例

  • S1=U(1)S^1=\mathrm{U}(1)：dθ2π\frac{d\theta}{2\pi}（角度の一様測度）。∫02πf(θ)dθ2π\int_0^{2\pi}f(\theta)\frac{d\theta}{2\pi}。
  • 有限群：1∣G∣∑g\frac1{|G|}\sum_g（数え上げの正規化）。ハール測度の離散版。
  • SU(2)=S3\mathrm{SU}(2)=S^3：33 次元球面上の一様測度。
  • 非コンパクト群（R,GLn\mathbb R,\mathrm{GL}_n）にも（片側）不変測度はあるが、全体の測度が無限大で確率測度に 正規化できない——ここがコンパクトとの決定的な差。

平均化の魔法——不変内積とユニタリ化

ハール測度の最初の、そして決定的な応用。任意の内積を「群全体で平均」すると、群作用で不変な内積が作れます。 すると群の表現が、内積を保つ（ユニタリな）表現になる。表現論の出発点です。

定理 不変内積の構成（ワイルのユニタリ化）

コンパクト群 GG の（有限次元）表現 ρ:G→GL(V)\rho:G\to\mathrm{GL}(V) に対し、任意の内積 ⟨⋅,⋅⟩0\langle\cdot,\cdot\rangle_0 を 群平均した

⟨u,v⟩=∫G⟨ρ(g)u,ρ(g)v⟩0 dg\langle u,v\rangle=\int_G\langle\rho(g)u,\rho(g)v\rangle_0\,dg

は GG 不変（⟨ρ(h)u,ρ(h)v⟩=⟨u,v⟩\langle\rho(h)u,\rho(h)v\rangle=\langle u,v\rangle）。ゆえに ρ\rho はユニタリ表現に取り替えられる。

証明

不変性：⟨ρ(h)u,ρ(h)v⟩=∫G⟨ρ(gh)u,ρ(gh)v⟩0 dg\langle\rho(h)u,\rho(h)v\rangle=\int_G\langle\rho(gh)u,\rho(gh)v\rangle_0\,dg。ハール測度の右不変性で gh→ggh\to g と置換でき、=⟨u,v⟩=\langle u,v\rangle。∎

平均化の一手で、どんな内積も不変内積に化ける。証明はハール測度の不変性を使うだけ——測度論で 築いた積分の力が、群論に直結します。この不変内積があると、次章の「表現が既約分解する（完全可約）」が保証 されます。

定理 マシュケの定理（コンパクト版）

コンパクト群の有限次元表現は完全可約——既約表現の直和に分解する。（不変内積のもとで、不変部分空間の 直交補空間も不変になるため。）

不変部分空間 W⊆VW\subseteq V があれば、不変内積での直交補空間 W⊥W^\perp も不変（ρ(g)\rho(g) が内積を保つから）。 だから V=W⊕W⊥V=W\oplus W^\perp と不変分解でき、これを繰り返せば既約成分に分かれる。平均化 → 不変内積 → 直交補空間も不変 → 完全可約。コンパクト群の表現論がきれいなのは、この一本道のおかげです。

注意 なぜコンパクトが効くのか

すべては「全体で平均できる」＝有限な不変測度があることに帰着する。非コンパクト群では測度が無限大で 平均が発散し、この魔法が使えない。だから非コンパクト群（SL2R\mathrm{SL}_2\mathbb R など）の表現論は、無限次元・ 非完全可約と桁違いに難しくなる。「コンパクト＝平均化できる＝表現がきれい」——第2章の予告の回収。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • ハール測度はコンパクトで確率測度になる。 不変測度自体は非コンパクトにもあるが、全体が無限大で正規化 できない。平均化にはコンパクト性が要る。
  • 平均化で内積を不変にできる。 任意の内積を群平均。証明はハール不変性のみ。有限群の 1∣G∣∑\frac1{|G|}\sum の 連続版。
  • 完全可約の鍵は「直交補空間も不変」。 不変内積があると W⊥W^\perp が不変になる。内積なしでは補空間が不変とは 限らない。
  • 非コンパクトは別世界。 表現が無限次元・非完全可約になりうる。コンパクトの手法は使えない。

この章のまとめ

  • ハール測度：コンパクトリー群には両側不変な確率測度 dgdg がただ一つ。「群全体で平均 ∫G⋯dg\int_G\cdots dg」を可能にする（有限群の 1∣G∣∑\frac1{|G|}\sum の連続版、ルベーグ測度の平行移動不変性のリー群版）。
  • 平均化の魔法：任意の内積を群平均すると不変内積ができ、表現がユニタリ化（ワイル）。
  • 不変内積のもとで直交補空間も不変 → コンパクト群の表現は完全可約（既約の直和、マシュケ）。コンパクト＝平均化できる＝表現がきれい。
  • 道具が揃った。次章では、この舞台で表現論に踏み込み、最重要例 SU(2)\mathrm{SU}(2) の既約表現（物理の角運動量・スピン）を調べます。

次章では、表現・既約表現・指標を導入し、SU(2)\mathrm{SU}(2) の既約表現の分類（スピン jj）と角運動量への応用を見ます。