第2章古典群

リー群は行列の中にたくさんいる

前章でリー群を定義しました。では具体例はどこに豊富にあるか——行列の中です。正則行列の全体 $\mathrm{GL}_n$ から、「ある構造を保つ」という条件で部分群を切り出すと、幾何学に現れる対称性が次々と得られます。これらを古典群と呼びます。長さを保つ回転、体積を保つ変換、複素の内積を保つ変換……。「何を保つか」がその群の正体です。

古典群は、抽象的なリー群論を試す“実験場”であり、物理（相対論・量子力学・素粒子論）に直接現れる対象でもあります。まずは一望し、それぞれの幾何的意味を掴みましょう。

古典群＝行列群 $\mathrm{GL}_n$ から「ある構造を保つ」条件で切り出した部分群。何を保つかが群を決める。

一般線形群と特殊線形群

定義 GL と SL

一般線形群 $\mathrm{GL}_n(\mathbb R)=\{A:\det A\ne0\}$ ：正則な実 $n\times n$ 行列。可逆な線形変換全体。次元 $n^2$ 。
特殊線形群 $\mathrm{SL}_n(\mathbb R)=\{A:\det A=1\}$ ：体積と向きを保つ線形変換。次元 $n^2-1$ 。

$\mathrm{GL}_n$ は「線形変換全部」、 $\mathrm{SL}_n$ は「 $\det=1$ ＝体積を変えない」もの。 $\det$ という一本の条件を課すと次元が $1$ 減る（ $n^2\to n^2-1$ ）。複素版 $\mathrm{GL}_n(\mathbb C),\mathrm{SL}_n(\mathbb C)$ も同様に定まります。

直交群とユニタリ群——「長さを保つ」

幾何でいちばん大切なのは「距離（内積）を保つ」対称性。実では直交群、複素ではユニタリ群になります。

定義直交群・ユニタリ群

直交群 $\mathrm{O}(n)=\{A:A^\top A=I\}$ ：実の内積（長さと角度）を保つ変換。 $\det=\pm1$ 。特殊直交群 $\mathrm{SO}(n)=\{A\in\mathrm{O}(n):\det A=1\}$ ＝回転群（向きも保つ）。次元 $\binom n2=\frac{n(n-1)}2$ 。
ユニタリ群 $\mathrm{U}(n)=\{A:A^*A=I\}$ （ $A^*$ は共役転置）：複素のエルミート内積を保つ変換。次元 $n^2$ 。特殊ユニタリ群 $\mathrm{SU}(n)=\{A\in\mathrm{U}(n):\det A=1\}$ 。次元 $n^2-1$ 。

条件 $A^\top A=I$ は「列ベクトルが正規直交＝長さと角度を保つ」（線形代数の直交行列）。 $\mathrm{SO}(n)$ が回転、 $\mathrm{O}(n)$ は回転＋鏡映。 $\mathrm{U}(n)$ はその複素版で、量子力学の状態変換（確率を保つ）はユニタリです。 $\mathrm{SU}(2)$ （次元 $3$ ）は第11章・素粒子論の主役になります。

例小さい古典群の姿

$\mathrm{SO}(2)$ ：平面の回転、 $1$ 次元、円 $S^1$ （前章）。
$\mathrm{SO}(3)$ ：空間の回転、 $3$ 次元。多様体としては実射影空間 $\mathbb{RP}^3$ 。
$\mathrm{SU}(2)$ ： $3$ 次元、多様体としては** $3$ 次元球面 $S^3$ **（単位四元数）。 $\mathrm{SO}(3)$ を $2:1$ で覆う（第12章）。
$\mathrm{U}(1)=S^1$ ：位相（ $e^{i\theta}$ ）、電磁気のゲージ群。

シンプレクティック群——「面積形式を保つ」

もう一つの古典群が、古典力学（シンプレクティック幾何）に現れる、反対称形式を保つ群です。

定義シンプレクティック群

$J=\begin{pmatrix}0&I\\-I&0\end{pmatrix}$ とする。シンプレクティック群 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb R)=\{A:A^\top J A=J\}$ は、反対称双線形形式（面積・位相空間の体積）を保つ変換。ハミルトン力学の相空間の対称性。

なぜこれらが「リー群」なのか

古典群がリー群であること——多様体になり、群演算がなめらかであること——は、行列の言葉で保証されます。定義条件（ $\det=1$ 、 $A^\top A=I$ など）が方程式で書けるので、その解集合が多様体になるのです。

定理古典群はリー群

古典群はすべて $\mathrm{GL}_n$ の閉部分群であり、（第9章の閉部分群定理により）リー群になる。 $A^\top A=I$ などの条件は $\mathrm{GL}_n$ 上の正則値の逆像を与え、そのなめらかな部分多様体を切り出す。

「行列になめらかな条件（等式）を課すと、なめらかな部分群が切り出される」。この背後には第9章の閉部分群定理 （ $\mathrm{GL}_n$ の閉部分群は自動的にリー群）があります。だから古典群を作るのに、いちいち多様体構造を手で確かめる必要はありません。行列の等式ひとつで、リー群が手に入るのです。

注意コンパクトか否か——後の理論の分かれ道

$\mathrm{O}(n),\mathrm{SO}(n),\mathrm{U}(n),\mathrm{SU}(n)$ はコンパクト（有界閉： $A^\top A=I$ が要素を有界に縛る）。一方 $\mathrm{GL}_n,\mathrm{SL}_n,\mathrm{Sp}(2n,\mathbb R)$ は非コンパクト（要素が無限に大きくなれる）。コンパクトかどうかは表現論（第10・11章）で決定的——コンパクト群は「平均化」（ハール測度）が効き、表現がきれいに分解する。古典群の“気質”を見分ける鍵。

つまずきポイント

注意よくある誤解

古典群は「何を保つか」で決まる。 $\mathrm{O}$ は内積、 $\mathrm{Sp}$ は面積形式、 $\mathrm{SL}$ は体積。保つ構造が群を定義する。名前でなく「保存量」で覚える。
$\mathrm{SO}$ （回転）と $\mathrm{O}$ （回転＋鏡映）の違いは $\det$ 。 $\det=1$ が向きを保つ回転、 $\det=-1$ が鏡映を含む。 $\mathrm{SO}$ は連結、 $\mathrm{O}$ は二成分。
$\mathrm{SU}(2)\ne\mathrm{SO}(3)$ （だが近い）。 ともに $3$ 次元だが、 $\mathrm{SU}(2)=S^3$ が $\mathrm{SO}(3)=\mathbb{RP}^3$ を $2:1$ で覆う（第12章）。同型でなく二重被覆。
コンパクト性が理論を分ける。 直交・ユニタリはコンパクト、 $\mathrm{GL},\mathrm{SL}$ は非コンパクト。表現論の振る舞いが変わる。

この章のまとめ

古典群＝ $\mathrm{GL}_n$ から「ある構造を保つ」条件で切り出す行列群。 $\mathrm{GL}$ （可逆）・ $\mathrm{SL}$ （体積）・ $\mathrm{O}/\mathrm{SO}$ （内積・回転）・ $\mathrm{U}/\mathrm{SU}$ （複素内積）・ $\mathrm{Sp}$ （面積形式）。
小さい例： $\mathrm{SO}(2)=S^1$ 、 $\mathrm{SU}(2)=S^3$ 、 $\mathrm{SO}(3)=\mathbb{RP}^3$ 、 $\mathrm{U}(1)=S^1$ 。
行列の等式条件が多様体を切り出し、閉部分群定理（第9章）で自動的にリー群になる。コンパクト（直交・ユニタリ）か非コンパクト（ $\mathrm{GL},\mathrm{SL}$ ）かが後の理論を分ける。
次章では、これらの群を「単位元で微分」して得られる無限小の対称性——リー環（単位元の接空間）を導入します。

次章では、リー群を単位元で微分して得られる接空間＝リー環を、1パラメータ部分群を通して具体的に捉えます。

第2章 古典群