第3章リー環 — 単位元の接空間

曲がった群を、単位元で微分する

リー群は曲がった空間（多様体）でした。曲がったものは扱いにくい。でも第1章で見たとおり、リー群は均質—— どの点も単位元と同じ。だから単位元 $e$ の近くだけを調べれば十分です。そして「なめらかな対象は、一点で微分すれば平らな線形空間（接空間）で近似できる」——多様体論で学んだこの原理を、単位元に当てます。

単位元での接空間は、平らなベクトル空間。曲がった群論が、線形代数の問題に化ける入り口です。この接空間をリー環と呼びます。まずは「群の中を通る、なめらかな一本道」——1パラメータ部分群——を通して、接空間を具体的に掴みましょう。

リー環＝単位元での接空間。曲がった群を一点で微分して得る平らなベクトル空間。無限小の対称性。

1パラメータ部分群——群を貫くなめらかな道

定義 1パラメータ部分群

リー群 $G$ の1パラメータ部分群とは、なめらかな準同型 $\gamma:(\mathbb R,+)\to G$ 、すなわち

\gamma(s+t)=\gamma(s)\gamma(t),\qquad \gamma(0)=e

をみたすなめらかな曲線。「実数直線を、群の中へ準同型に流し込んだ道」。

$\gamma(s+t)=\gamma(s)\gamma(t)$ は「時間を足すことが、群の掛け算に対応する」——一定の“速度”で群の中を進み続ける道です。 $\mathrm{SO}(2)$ なら $\gamma(t)=$ 「角 $t$ の回転」がそれ。一定の角速度で回り続ける運動です。この道の 単位元での初速度 $\gamma'(0)$ が、無限小の対称性を表します。

定義リー環（接空間として）

リー群 $G$ の単位元 $e$ での接空間 $T_eG$ を、 $G$ のリー環 $\mathfrak g$ という。その元は、 $e$ を通る 1パラメータ部分群 $\gamma$ の初速度 $\gamma'(0)$ ——「単位元における無限小の対称性」。 $\dim\mathfrak g=\dim G$ 。

リー環 $\mathfrak g$ は接空間なので、まずベクトル空間（足し算とスカラー倍ができる）。曲がった群が、一点で平らなベクトル空間に化けた。これが「線形化」です。ただし後の章で見るように、 $\mathfrak g$ にはベクトル空間以上の構造（リー括弧、第4章）が入り、それが群の非可換性を記憶します。

行列群のリー環——具体的に計算する

古典群（第2章）のリー環は、行列の言葉で明示的に書けます。「単位元 $I$ を通る道 $A(t)=I+tX+\cdots$ が群の条件をみたすには、 $X$ に何を課せばよいか」を、条件を微分して求めます。

定理古典群のリー環

行列群のリー環は「 $A(0)=I,\ A'(0)=X$ なる群内の道が存在する $X$ 」の全体。条件を $t=0$ で微分して：

$\mathfrak{gl}_n=\{$ 全行列 $\}$ （ $\mathrm{GL}_n$ には条件なし）。
$\mathfrak{sl}_n=\{X:\operatorname{tr}X=0\}$ （ $\det A=1$ を微分すると $\operatorname{tr}X=0$ ）。
$\mathfrak{so}(n)=\{X:X^\top=-X\}$ （反対称行列。 $A^\top A=I$ を微分すると $X^\top+X=0$ ）。
$\mathfrak{u}(n)=\{X:X^*=-X\}$ （反エルミート行列）、 $\mathfrak{su}(n)=\{X^*=-X,\ \operatorname{tr}X=0\}$ 。

証明

$\mathfrak{so}(n)$ を例に。 $A(t)\in\mathrm{SO}(n)$ は $A(t)^\top A(t)=I$ 。両辺を $t$ で微分し $t=0$ （ $A(0)=I,\ A'(0)=X$ ）を代入： $X^\top I+I X=0$ 、すなわち $X^\top=-X$ 。逆に反対称 $X$ から $\exp(tX)$ （第5章）が $\mathrm{SO}(n)$ の道を与える。∎

美しい対応です。群の「積で書いた条件」を微分すると、環の「和で書いた線形条件」になる。 $\det=1$ （積の条件）が $\operatorname{tr}=0$ （線形条件）に、 $A^\top A=I$ が $X^\top=-X$ に。非線形な群の方程式が、線形なベクトル空間の方程式に化ける——これこそ線形化の御利益。 $\mathfrak{so}(3)$ は反対称 $3\times3$ 行列で $3$ 次元、確かに $\dim\mathrm{SO}(3)=3$ と一致します。

例 so(2) と so(3) のリー環

$\mathfrak{so}(2)$ ：反対称 $2\times2$ 行列 $\begin{pmatrix}0&-a\\a&0\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ 。 $1$ 次元。基底 $X=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ が「無限小回転」。
$\mathfrak{so}(3)$ ：反対称 $3\times3$ 行列、 $3$ 次元。基底は $x,y,z$ 各軸まわりの無限小回転 $L_x,L_y,L_z$ ——物理の角運動量演算子そのもの。

つまずきポイント

注意よくある誤解

リー環は「環」だが加法の意味の環ではない。 接空間としてまずベクトル空間。名前の「環」は後で入るリー括弧（第4章）から。掛け算は通常の積でなく交換子。
1パラメータ部分群は準同型。 $\gamma(s+t)=\gamma(s)\gamma(t)$ が命。ただのなめらかな曲線ではなく、時間の和が群の積に対応する道。
群の積条件 → 環の線形条件。 $\det=1\to\operatorname{tr}=0$ 、 $A^\top A=I\to X^\top=-X$ 。微分が非線形を線形に落とす。この翻訳が線形化の核。
$\dim\mathfrak g=\dim G$ 。 リー環はリー群の次元と同じ。 $\mathfrak{so}(3)$ は $3$ 次元＝ $\mathrm{SO}(3)$ の自由度。

この章のまとめ

リー環 $\mathfrak g=T_eG$ ＝リー群の単位元での接空間。均質性より単位元近傍が群全体を代表し、そこを微分して平らなベクトル空間を得る（線形化）。
元は1パラメータ部分群 $\gamma$ （ $\gamma(s+t)=\gamma(s)\gamma(t)$ ）の初速度 $\gamma'(0)$ ＝無限小の対称性。
行列群では明示的： $\mathfrak{sl}_n$ ＝トレース $0$ 、 $\mathfrak{so}(n)$ ＝反対称行列、 $\mathfrak{u}(n)$ ＝反エルミート。群の積条件を微分すると環の線形条件になる。 $\mathfrak{so}(3)$ ＝角運動量。
ベクトル空間だけでは群の非可換性を記憶できない。次章では、その非可換性を捉える構造——リー括弧 $[X,Y]$ を導入します。

次章では、リー環に入る積＝リー括弧（交換子）を導入し、それが群の無限小の非可換性を測ることを、3次元回転で体感します。

第3章 リー環 — 単位元の接空間