第4章リー括弧 — 無限小の非可換性

回転は、順序で結果が変わる

前章でリー環＝単位元の接空間（ベクトル空間）を得ました。でもベクトル空間の情報——足し算とスカラー倍—— だけでは、群の大事な性質を取りこぼしています。群は一般に可換でない（ $gh\ne hg$ ）。この非可換性は、接空間の線形構造には現れません。何か追加の構造が要る。

非可換性を体で感じるには、 $3$ 次元の回転がうってつけです。「x軸まわりに回してから y軸まわり」と「y軸まわりに回してから x軸まわり」——結果は違います。下で確かめてください。

回転角 θ ＝ 40°

角 $\theta$ を大きくすると、左（x→y）と右（y→x）の箱の向きが明らかにずれます。 $\theta\to0$ でずれは消えますが、 ずれの主要項は $\theta^2$ に比例し、その係数がリー括弧 $[X,Y]=XY-YX$ 。回転の「順序の効き方」を無限小で取り出したものが、リー括弧なのです。

リー括弧 $[X,Y]=XY-YX$ ＝群の非可換性（順序の効き）を無限小で測る量。リー環にはこれが刻まれている。

リー括弧の定義

行列群では、リー括弧は交換子そのものです。

定義リー括弧（交換子）

行列のリー環 $\mathfrak g$ で、 $X,Y\in\mathfrak g$ のリー括弧を

[X,Y]=XY-YX

（交換子）で定める。 $[X,Y]\in\mathfrak g$ （リー環は括弧で閉じる）。可換な群では $[X,Y]=0$ 。

なぜ交換子が非可換性を測るのか。1パラメータ部分群 $\exp(sX),\exp(tY)$ （第5章）で「行って戻る」交換子 $\exp(sX)\exp(tY)\exp(-sX)\exp(-tY)$ を計算すると、主要項が $\exp(st[X,Y]+\cdots)$ になります。群での「 $X$ 方向へ進み、 $Y$ 方向へ進み、 $X$ を戻し、 $Y$ を戻す」——完全に可換なら元に戻るはずのこの往復が、どれだけ元からずれるか。そのずれが $[X,Y]$ 。デモの $\theta^2[X,Y]$ はまさにこれです。

例 so(3) のリー括弧＝外積

$\mathfrak{so}(3)$ の基底 $L_x,L_y,L_z$ （各軸の無限小回転）は

[L_x,L_y]=L_z,\quad [L_y,L_z]=L_x,\quad [L_z,L_x]=L_y.

これはベクトルの外積 $\vec e_x\times\vec e_y=\vec e_z$ と同じ構造。 $3$ 次元回転の非可換性が、外積として現れる。物理では $[L_i,L_j]=\varepsilon_{ijk}L_k$ （角運動量の交換関係）——量子力学のスピン・角運動量の土台がここにある。

リー環の公理

リー括弧の性質を抽象化すると、リー環が「ベクトル空間＋括弧」として公理化できます。行列を離れても、この公理をみたすものはリー環です（抽象リー環は非可換環・リー環で本格的に扱います）。

定義リー環（抽象）

ベクトル空間 $\mathfrak g$ に双線形な括弧 $[\cdot,\cdot]:\mathfrak g\times\mathfrak g\to\mathfrak g$ が定まり、

（反対称） $[X,Y]=-[Y,X]$ （ゆえに $[X,X]=0$ ）、
（ヤコビ恒等式） $[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0$

をみたすとき、 $\mathfrak g$ をリー環という。

交換子 $[X,Y]=XY-YX$ が反対称なのは明らか。ヤコビ恒等式も、交換子を展開すると項が打ち消し合って成り立ちます（結合律の“影”）。ヤコビ恒等式は「非可換性そのものが従うべき整合性」で、リー環論の背骨です。これは、群の結合律 $(gh)k=g(hk)$ を無限小に翻訳したものと言えます。

注意リー環に群の情報がどこまで残るか

リー括弧は「無限小の非可換性」——群の $2$ 次までの情報を捉える。驚くべきことに、これだけで（連結・単連結なら） 群がほぼ復元できる（第7章のリー群–リー環対応）。曲がった非可換な群全体が、平らなベクトル空間＋括弧という有限次元の代数データに凝縮される。ベクトル空間（ $1$ 次）に括弧（ $2$ 次）を足しただけで群が決まる——これがリー理論の核心的な驚き。第6章のBCH公式が「括弧だけで積が書ける」ことを保証する。

つまずきポイント

注意よくある誤解

リー括弧はベクトル空間構造の“外”の情報。 足し算では非可換性を捉えられない。 $[X,Y]$ が群の順序の効きを記憶する。可換群では $[X,Y]=0$ 。
$[X,Y]=XY-YX$ は行列積の交換子（行列群の場合）。 抽象リー環では、公理（反対称＋ヤコビ）をみたす括弧なら何でもよい。行列は代表例。
ヤコビ恒等式は結合律の無限小版。 「掛け算の順序を組み替える」整合性。単なる技術的条件でなく、群の結合性の痕跡。
$[L_i,L_j]=\varepsilon_{ijk}L_k$ は外積。 $\mathfrak{so}(3)$ の括弧はベクトルの外積と同型。回転の非可換性が角運動量の交換関係になる。

この章のまとめ

リー括弧 $[X,Y]=XY-YX$ （交換子）＝群の非可換性を無限小で測る量。往復交換子 $\exp X\exp Y\exp(-X)\exp(-Y)$ の主要項が $[X,Y]$ 。可換群では $0$ 。
$\mathfrak{so}(3)$ の括弧は外積（ $[L_x,L_y]=L_z$ ）＝角運動量の交換関係。
抽象リー環＝ベクトル空間＋双線形括弧で、反対称とヤコビ恒等式（結合律の無限小版）をみたすもの。
リー環（ベクトル空間＋括弧）は群を（局所的に）ほぼ復元する情報をもつ。次章では、無限小（リー環）から有限の対称性（リー群）へ積み上げる橋——指数写像を導入します。

次章では、指数写像 $\exp(tX)$ を行列指数関数として定義し、リー環の元から1パラメータ部分群を生み出す様子を体感します。

第4章 リー括弧 — 無限小の非可換性