第5章指数写像

無限小から有限へ

これまで、リー群を単位元で微分してリー環（無限小の対称性）を得ました。今度は逆——無限小のリー環から、有限の対称性であるリー群へ登る橋を架けます。それが指数写像です。

直感はこうです。リー環の元 $X$ は「単位元での初速度」でした。ならば「その初速度で群の中を進み続けたら、どこに着くか」。速度 $X$ で時間 $t$ だけ進んだ到達点が $\exp(tX)$ 。無限小の一歩を無限回積み重ねて、有限の変換を作る——微分の逆、積分にあたる操作です。実は名前どおり、これは指数関数の一般化になります。

指数写像 $\exp:\mathfrak g\to G$ ＝リー環の元 $X$ （初速度）で群の中を進み続けた到達点。無限小を積み上げて有限の対称性にする。

行列指数関数

行列群では、指数写像は行列指数関数——おなじみの $e^x$ の級数を行列に当てたもの——として明示的に書けます。微分方程式で連立線形系を解いた $e^{tA}$ と同じものです。

定義行列指数関数

行列 $X$ に対し

\exp(X)=e^X=\sum_{n=0}^\infty\frac{X^n}{n!}=I+X+\frac{X^2}2+\frac{X^3}6+\cdots

（関数解析の絶対収束により、すべての行列で収束）。 $\exp(0)=I$ 。

この級数は $\sum\frac{\|X\|^n}{n!}=e^{\|X\|}<\infty$ より必ず収束します（第2章で触れた完備性の御利益）。 $t$ を掛けた $\exp(tX)$ を考えると、これがちょうど 1パラメータ部分群になります。

定理 exp は1パラメータ部分群を生む

$X\in\mathfrak g$ に対し $\gamma(t)=\exp(tX)$ は、

$\gamma(0)=I$ 、 $\gamma'(0)=X$ （初速度が $X$ ）、
$\gamma(s+t)=\gamma(s)\gamma(t)$ （1パラメータ部分群、第3章）、
$\dfrac{d}{dt}\exp(tX)=X\exp(tX)$ （微分方程式 $\gamma'=X\gamma$ の解）をみたす。

証明

級数を項別微分すると $\frac{d}{dt}\sum\frac{(tX)^n}{n!}=\sum\frac{n t^{n-1}X^n}{n!}=X\sum\frac{(tX)^{n-1}}{(n-1)!}=X\exp(tX)$ 、 $t=0$ で $X$ 。 $\gamma(s+t)=\gamma(s)\gamma(t)$ は、 $X$ と $tX$ が可換なので級数の積が指数法則をみたすことから（ $e^{(s+t)X}=e^{sX}e^{tX}$ ）。∎

規則 3「 $\gamma'=X\gamma$ 」に注目してください。これは「各瞬間の速度が、現在位置に初速度 $X$ を掛けたもの」 ——一定の“無限小回転” $X$ を積分し続ける運動。 $\exp(tX)$ は、無限小の対称性 $X$ を有限時間ぶん積み上げた到達点なのです。

指数写像を体感する——直線が群に巻きつく

$\mathrm{SO}(2)$ で指数写像の姿を見ましょう。リー環 $\mathfrak{so}(2)$ は $1$ 次元（無限小回転 $X$ の実数倍）、群 $\mathrm{SO}(2)=S^1$ は円。 $\exp(tX)$ は角 $t$ の回転です。下で動かしてください。

t ＝ 1.00

まっすぐな接直線（リー環 $\mathbb R\cdot X$ ）が、 $\exp$ によって円（群 $\mathrm{SO}(2)$ ）へ巻きついていきます。リー環の元 $tX$ （接直線上の高さ $t$ ）が、円上の角 $t$ の点 $\exp(tX)=(\cos t,\sin t)$ に写る。弧長 $t$ と角 $t$ が対応します。そして $t$ と $t+2\pi$ は同じ点に着く——周期性（ $\exp$ の核が $2\pi\mathbb Z$ ）。平らな直線を、曲がった群へ巻き取る——これが指数写像の幾何的な姿です。

例 exp の計算例

$X=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ （ $\mathfrak{so}(2)$ ）： $\exp(tX)=\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix}$ ＝角 $t$ の回転。 $X^2=-I$ より級数がオイラーの公式に化ける。
$X=\mathrm{diag}(a_1,\dots,a_n)$ （対角）： $\exp(X)=\mathrm{diag}(e^{a_1},\dots,e^{a_n})$ 。
反対称 $X$ （ $\mathfrak{so}(n)$ ）→ $\exp X$ は回転（直交行列）。反エルミート → ユニタリ。リー環の条件が群の条件に写る。

つまずきポイント

注意よくある誤解

exp は級数で定義（行列群）。 $e^X=\sum X^n/n!$ 。数の指数関数の一般化。 $\det=1$ や直交性は級数から従う（ $\det e^X=e^{\operatorname{tr}X}$ など）。
$e^{X+Y}\ne e^Xe^Y$ （一般に）。 $X,Y$ が可換なときだけ指数法則が成り立つ。非可換だとずれる——そのずれが BCH公式（次章）で、リー括弧が効いてくる。
exp は直線を群に巻きつける。 リー環（平ら）→ 群（曲がった）。 $\mathrm{SO}(2)$ では周期的に巻く。だから全単射でない（核 $2\pi\mathbb Z$ ）。
$\exp(tX)$ の初速度が $X$ 。 $t=0$ での速度がリー環の元 $X$ を回収する。exp は「微分の逆」（積分的）操作。

この章のまとめ

指数写像 $\exp:\mathfrak g\to G$ ＝リー環の元 $X$ で群を進み続けた到達点。行列群では行列指数関数 $e^X=\sum X^n/n!$ （必ず収束）。
$\exp(tX)$ は初速度 $X$ の1パラメータ部分群で、 $\gamma'=X\gamma$ をみたす（無限小 $X$ の積分）。
幾何的には平らな直線（リー環）を曲がった群へ巻きつける。 $\mathrm{SO}(2)$ では円に周期的に巻き（核 $2\pi\mathbb Z$ ）。リー環の条件（反対称・トレース0）が群の条件（直交・ $\det=1$ ）に写る。
ただし $e^{X+Y}\ne e^Xe^Y$ （非可換）。次章では、この積のずれを支配する式——BCH公式と、exp が局所同相であることを見ます。

次章では、 $\exp X\exp Y=\exp(X+Y+\frac12[X,Y]+\cdots)$ （BCH公式）と、exp が単位元近傍で座標を与えること（局所同相）を扱います。

第5章 指数写像