第7章リー群–リー環対応

リー理論の心臓

ここまでの積み重ねが、一つの壮大な対応に結晶します——リー群とリー環は、ほとんど同じ情報をもつ。曲がった非可換なリー群 $G$ の問題が、平らな有限次元のリー環 $\mathfrak g$ の線形代数に翻訳できる。微分（ $G\to\mathfrak g$ ）と指数写像（ $\mathfrak g\to G$ ）が、この二つの世界を行き来する橋でした。この章では、その対応を定理として述べ、「準同型をリー環で調べる」という強力な戦略を確立します。

リー群–リー環対応：連結・単連結なリー群はリー環と一対一。曲がった群の問題が、平らな環の線形代数になる。

準同型の対応——線形化

まず、リー群の間の準同型が、リー環の間の準同型（線形写像）に落ちることを見ます。これが「群を環で調べる」基本の道具です。

定理準同型の微分

リー群の準同型 $\Phi:G\to H$ （なめらかな群準同型）は、単位元での微分によりリー環の準同型

d\Phi=\phi:\mathfrak g\to\mathfrak h,\qquad \phi([X,Y])=[\phi(X),\phi(Y)]

（括弧を保つ線形写像）を与える。さらに $\Phi(\exp X)=\exp(\phi(X))$ （exp と可換）。

$\Phi(\exp X)=\exp(\phi X)$ は決定的です。群の準同型 $\Phi$ が、リー環の線形写像 $\phi$ と指数写像だけで復元される。だから、曲がった群の準同型を調べるのに、平らなリー環の線形写像 $\phi$ （括弧を保つもの）を調べれば十分。無限次元的に見える群準同型が、有限次元の線形代数になります。

例行列式は準同型 → トレース

$\det:\mathrm{GL}_n\to\mathbb R^\times$ の微分は $\operatorname{tr}:\mathfrak{gl}_n\to\mathbb R$ 。 $\det(\exp X)=\exp(\operatorname{tr}X)$ という有名公式は、まさに $\Phi(\exp X)=\exp(\phi X)$ の実例。「積を保つ $\det$ 」が「和を保つ $\operatorname{tr}$ 」に線形化される（第3章の $\mathfrak{sl}_n$ ： $\operatorname{tr}=0$ の回収）。

対応定理

いよいよ本丸。リー環がリー群をどこまで決めるか。答えは「局所的には完全に、大域的には単連結なら完全に」。

定理リー群–リー環対応（リーの基本定理）

（環→局所群） 任意の有限次元リー環 $\mathfrak g$ に対し、それをリー環とする連結・単連結リー群 $G$ が（同型を除いて）ただ一つ存在する。
（準同型の対応） 単連結な $G$ からのリー群準同型 $G\to H$ は、リー環準同型 $\mathfrak g\to\mathfrak h$ と 一対一に対応する。
（局所同型） 同じリー環をもつ連結リー群は、局所同型（単位元近傍で同型）。大域では被覆の分だけ違いうる。

証明の骨格は、BCH公式（積が括弧で書ける、第6章）でリー環から局所群を組み立て、単連結性を使って局所を大域へ一意に延長する、というものです。ポイントは単連結性——これがないと、同じリー環から複数の群が出ます。

例同じリー環、違う群——SU(2) と SO(3)

$\mathfrak{su}(2)\cong\mathfrak{so}(3)$ （ともに $[L_i,L_j]=\varepsilon_{ijk}L_k$ 、外積の構造）。リー環は同じなのに、群は違う： $\mathrm{SU}(2)=S^3$ （単連結）が $\mathrm{SO}(3)=\mathbb{RP}^3$ （単連結でない、 $\pi_1=\mathbb Z/2$ ）を $2:1$ で覆う。**単連結な $\mathrm{SU}(2)$ が“本家”**で、 $\mathrm{SO}(3)$ はその商。同じ無限小構造から、大域の形が異なる二つの群が生じる——局所（リー環）と大域（群）のギャップの最重要例。第12章・スピンの起源。

何が翻訳でき、何ができないか

対応の威力と限界を整理します。局所的な性質はすべてリー環に翻訳されるが、大域的な性質（連結成分・基本群・被覆）はリー環を超えて群に固有です。

注意リー環が捉えるもの・捉えないもの

リー環が決める（局所）：単位元近傍の構造、部分群↔部分環、準同型（線形化）、可換性（ $[\mathfrak g,\mathfrak g]=0$ ⇔ 局所可換）、可解性・単純性などの代数的性質。
リー環が決めない（大域）：連結成分の個数（ $\mathrm{O}(n)$ の $\pm1$ 成分）、基本群（ $\mathrm{SO}(3)$ の $\mathbb Z/2$ ）、被覆（ $\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(3)$ ）、コンパクト性の一部。「無限小」で見える情報と「大域の形」を区別するのが、リー理論を正しく使う鍵。

つまずきポイント

注意よくある誤解

準同型は $\Phi(\exp X)=\exp(\phi X)$ で線形化。 群の準同型を、リー環の（括弧を保つ）線形写像に落として調べる。 $\det\leftrightarrow\operatorname{tr}$ が典型。
対応が一対一なのは「単連結」なとき。 単連結でない群だと、同じリー環から複数の群（ $\mathrm{SU}(2)$ と $\mathrm{SO}(3)$ ）。単連結な群が“普遍被覆”＝本家。
リー環は局所しか決めない。 基本群・被覆・連結成分は大域情報でリー環に写らない。「リー環が同じ＝群が同じ」は誤り（局所同型どまり）。
括弧を保つのが命。 リー環準同型は線形かつ $\phi[X,Y]=[\phi X,\phi Y]$ 。ただの線形写像では足りない。

この章のまとめ

準同型の微分：リー群準同型 $\Phi$ は $\Phi(\exp X)=\exp(\phi X)$ でリー環準同型 $\phi$ （括弧を保つ線形写像）に線形化。 $\det\leftrightarrow\operatorname{tr}$ 。
リー群–リー環対応：有限次元リー環は連結・単連結リー群を一意に決め、単連結な群からの準同型はリー環準同型と一対一。同じリー環の連結群は局所同型。
大域のギャップ： $\mathfrak{su}(2)\cong\mathfrak{so}(3)$ でも $\mathrm{SU}(2)=S^3$ （単連結）が $\mathrm{SO}(3)=\mathbb{RP}^3$ を $2:1$ 被覆。リー環は局所を決め、基本群・被覆は群に固有。
群の作用を線形化する最重要の例が随伴表現。次章では、群が自分自身に共役で作用する様子を微分した $\mathrm{Ad}$ と $\mathrm{ad}$ を扱います。

次章では、共役作用の微分から随伴表現 $\mathrm{Ad}:G\to\mathrm{GL}(\mathfrak g)$ と $\mathrm{ad}=[\,\cdot\,,-]$ を導き、群と環をつなぎ直します。

第7章 リー群–リー環対応