第6章 BCH公式と局所同相

積のずれは、括弧で書ける

前章で $e^{X+Y}\ne e^Xe^Y$ （ $X,Y$ が非可換なら）と注意しました。では $\exp(X)\exp(Y)$ は何に等しいのか。 $\exp(Z)$ の形に書くなら、 $Z$ は何か。驚くべきことに、 $Z$ は $X,Y$ とリー括弧だけで書けます——足し算と交換子 $[\cdot,\cdot]$ の繰り返しで。これがベイカー–キャンベル–ハウスドルフ（BCH）公式です。

この事実の意味は重大です。「群の積」という曲がった非可換な演算が、「リー環の括弧」という有限次元の代数データだけで復元できる。第4章で予告した「リー環が群をほぼ決める」の、計算レベルでの裏づけです。

BCH公式： $\exp X\exp Y=\exp(X+Y+\frac12[X,Y]+\cdots)$ 。群の積が、リー括弧だけで書ける。

BCH公式

定理ベイカー–キャンベル–ハウスドルフの公式

$X,Y$ が十分小さいとき、 $\exp(X)\exp(Y)=\exp(Z)$ となる $Z$ は

Z=X+Y+\frac12[X,Y]+\frac1{12}\big([X,[X,Y]]+[Y,[Y,X]]\big)+\cdots

と、 $X,Y$ の繰り返しリー括弧だけで表せる（高次項もすべて括弧の入れ子）。

一次の項 $X+Y$ は「可換なら指数法則どおり」。二次の項 $\frac12[X,Y]$ が、非可換性の最初の補正——積の順序のずれが、ちょうどリー括弧で測られる（第4章のデモの $\theta^2[X,Y]$ と同じ精神）。以降の項もすべて $[X,[X,Y]]$ のような括弧の入れ子で、 $X,Y$ の“普通の積”は一切現れません。

注意なぜ括弧だけで書けるのが驚きか

$\exp X\exp Y$ を素朴に級数で掛けると $XY,YX,X^2Y,\dots$ と、リー環の外に出る積が山ほど出る。ところが $\exp(\cdot)$ の中にまとめ直すと、それらがすべて交換子に組み替わり、リー環 $\mathfrak g$ の中に収まる。つまり「群の積の情報は、リー環の括弧構造だけに宿っている」。リー環というたった $\dim G$ 次元の代数データが、無限次元的に見える群の積を完全に符号化する——リー理論が“うまくいく”核心。

exp は局所同相——群に座標を与える

指数写像のもう一つの基本性質。 $\exp$ は単位元の近くで全単射（微分同相）。だから、リー環（平らなベクトル空間）が、単位元近傍の座標になります。曲がった群を、平らなリー環の言葉で局所的に扱える。

定理 exp は局所微分同相

$\exp:\mathfrak g\to G$ の $0$ での微分は恒等写像 $\mathrm{id}_{\mathfrak g}$ 。よって逆関数定理により、 $\exp$ は $0\in\mathfrak g$ の近傍から $e\in G$ の近傍への微分同相。 $\mathfrak g$ が単位元近傍の座標（正準座標）を与える。

証明

$\exp(tX)$ の $t=0$ での微分が $X$ （前章）だから、 $d(\exp)_0=\mathrm{id}$ 。可逆なので逆関数定理が適用でき、局所微分同相。∎

この局所同相と均質性（第1章）を組み合わせると、群のどの点の近傍もリー環で座標づけできます（ $g$ の近傍は $g\exp(\mathfrak g\text{ の近傍})$ ）。群全体が、リー環という一つの平らな空間の“貼り合わせ”で覆える。 BCH公式（積が括弧で書ける）と局所同相（座標が入る）が合わさって、リー群の局所構造はリー環に完全に帰着します。

注意 exp は大域的には全射・単射とは限らない

局所同相は「単位元の近く」の話。大域では崩れる。 $\mathrm{SO}(2)$ で $\exp$ は周期的（全射だが単射でない、前章）。非コンパクトな $\mathrm{SL}_2(\mathbb R)$ では $\exp$ は全射ですらない（届かない元がある）。一方、コンパクト連結群では $\exp$ は全射。「exp がどこまで届くか」は群の大域的な形（連結性・コンパクト性）で決まる——局所（リー環）と大域（群）のギャップが、ここに現れる。

つまずきポイント

注意よくある誤解

BCH は「積が括弧だけで書ける」。 $\exp X\exp Y=\exp Z$ の $Z$ が $X,Y$ の交換子の組合せ。普通の積 $XY$ は最終形に現れない。リー環の中で閉じる。
一次は $X+Y$ 、二次が $\frac12[X,Y]$ 。 可換なら指数法則、非可換のずれが括弧。高次も全部括弧。
exp は局所同相であって大域同相でない。 単位元の近くで座標を与えるが、遠くでは周期性や非全射が起きる。局所と大域を混同しない。
exp の全射性は群による。 コンパクト連結なら全射、 $\mathrm{SL}_2(\mathbb R)$ では非全射。リー環だけからは大域は決まらない。

この章のまとめ

BCH公式 $\exp X\exp Y=\exp(X+Y+\frac12[X,Y]+\cdots)$ ：群の積がリー括弧だけで書ける。非可換性の補正はすべて交換子。リー環が群の積を完全に符号化する。
exp は局所微分同相（ $d(\exp)_0=\mathrm{id}$ 、逆関数定理）。リー環が単位元近傍の正準座標を与え、均質性と合わせて群の局所構造がリー環に帰着。
ただし局所の話。大域では周期性（ $\mathrm{SO}(2)$ ）や非全射（ $\mathrm{SL}_2\mathbb R$ ）が起き、exp の届く範囲は群の連結性・コンパクト性で決まる。
局所ではリー環が群を決める。次章では、これを定理として述べる——リー群–リー環対応、そして準同型がリー環のレベルで決まることを見ます。

次章では、リー環が（連結・単連結なら）リー群を決めること、リー群の準同型がリー環の準同型に対応することを扱います。