第8章随伴表現

群が自分のリー環に作用する

前章で「準同型はリー環で線形化できる」と学びました。その最重要の例が、群が自分自身の共役によって作る作用——随伴表現です。群 $G$ は、各元 $g$ による共役 $x\mapsto gxg^{-1}$ で自分自身に作用します。これを単位元で微分すると、群 $G$ が自分のリー環 $\mathfrak g$ に線形に作用する表現 $\mathrm{Ad}$ が得られる。さらにそれをもう一度微分すると、リー括弧そのもの $\mathrm{ad}=[\,\cdot\,,-]$ が現れます。

随伴表現は、リー群論の“自己言及”です。群が外の空間ではなく、自分の無限小構造（リー環）に作用する。この作用が、群と環の関係を締めくくり、次章以降の表現論・構造論の土台になります。

随伴表現 $\mathrm{Ad}$ ＝群が共役で自分のリー環に作用する表現。その微分 $\mathrm{ad}$ がリー括弧そのもの。

随伴表現 Ad

定義随伴表現 Ad

$g\in G$ による共役 $C_g:G\to G,\ x\mapsto gxg^{-1}$ は単位元を固定する準同型。その単位元での微分

\mathrm{Ad}(g)=d(C_g)_e:\mathfrak g\to\mathfrak g

は $\mathfrak g$ 上の可逆線形写像で、 $\mathrm{Ad}:G\to\mathrm{GL}(\mathfrak g)$ は群準同型（随伴表現）。行列群では $\mathrm{Ad}(g)X=gXg^{-1}$ （行列の共役）。

行列群での $\mathrm{Ad}(g)X=gXg^{-1}$ は分かりやすい——リー環の元 $X$ （無限小変換）を、 $g$ で「座標変換」したもの。 $g$ の視点から見た無限小対称性です。 $\mathrm{Ad}$ は $G$ から $\mathrm{GL}(\mathfrak g)$ への準同型なので、「群 $G$ を、そのリー環に作用する行列として表す」——表現（次章以降）の最初の、そして最も自然な例です。

定理 Ad は exp と両立

$\mathrm{Ad}(\exp X)=\exp(\mathrm{ad}_X)$ （下の $\mathrm{ad}$ ）。また $g\exp(X)g^{-1}=\exp(\mathrm{Ad}(g)X)$ ——共役は、リー環側で $\mathrm{Ad}$ を施すことに対応する。

随伴表現 ad ＝リー括弧

$\mathrm{Ad}:G\to\mathrm{GL}(\mathfrak g)$ もリー群準同型ですから、前章のとおり微分できます。その微分が、リー括弧そのものになる——これが随伴表現の“オチ”です。

定義 ad ＝ Ad の微分

$\mathrm{Ad}:G\to\mathrm{GL}(\mathfrak g)$ の単位元での微分を $\mathrm{ad}:\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(\mathfrak g)=\mathrm{End}(\mathfrak g)$ とする。すると

\mathrm{ad}_X(Y)=[X,Y].

すなわち $\mathrm{ad}_X=[X,-]$ （ $X$ との括弧をとる線形写像）。

証明

$\mathrm{Ad}(\exp(tX))Y=\exp(tX)\,Y\,\exp(-tX)$ を $t$ で微分し $t=0$ ：積の微分則で $\frac{d}{dt}\big|_0=XY-YX=[X,Y]$ 。ゆえに $\mathrm{ad}_X(Y)=[X,Y]$ 。∎

美しい二段構えです。共役（群の作用）を一度微分すると $\mathrm{Ad}$ （群がリー環に作用）、もう一度微分すると $\mathrm{ad}=[\,\cdot\,,-]$ （リー括弧）。リー括弧は、群の共役作用を二回微分したもの——第4章で「非可換性の無限小」と述べた括弧が、随伴表現として群構造から自然に導かれました。ヤコビ恒等式（第4章）も、この視点では「 $\mathrm{ad}$ が括弧を保つ（リー環準同型）」ことの言い換えになります。

キリング形式——リー環に入る内積

随伴表現から、リー環上に自然な対称双線形形式が作れます。構造論（半単純性の判定、第12章）で決定的な道具です。

定義キリング形式

$B(X,Y)=\operatorname{tr}(\mathrm{ad}_X\,\mathrm{ad}_Y)$ をキリング形式という。リー環に固有の対称双線形形式で、 $\mathrm{Ad}$ 不変（ $B(\mathrm{Ad}(g)X,\mathrm{Ad}(g)Y)=B(X,Y)$ ）。

キリング形式は「リー環に内在する内積」。第12章で見るように、 $B$ が負定値ならコンパクト型、 非退化なら半単純——リー環の“気質”を、この一つの形式が判定します。 $\mathrm{ad}$ （＝括弧）だけから作れるのがポイントで、リー環の内在的な幾何を与えます。

つまずきポイント

注意よくある誤解

Ad は群→GL(𝔤)、ad は 𝔤→End(𝔤)。 前者は群の表現（共役の微分）、後者はその微分（括弧）。 $\mathrm{Ad}$ の $A$ は大文字、 $\mathrm{ad}$ は小文字——階層が一段違う。
ad_X(Y)=[X,Y]。 随伴表現の微分がリー括弧そのもの。括弧は「共役を二回微分」して自然に出る、群由来の構造。
行列群では Ad(g)X=gXg⁻¹。 共役。抽象群では共役の微分として定義。行列は具体例。
キリング形式は ad から作る内積。 $B(X,Y)=\operatorname{tr}(\mathrm{ad}_X\mathrm{ad}_Y)$ 。半単純性・コンパクト性の判定器（第12章）。

この章のまとめ

随伴表現 $\mathrm{Ad}:G\to\mathrm{GL}(\mathfrak g)$ ＝群が共役 $x\mapsto gxg^{-1}$ で自分のリー環に作用（行列群で $\mathrm{Ad}(g)X=gXg^{-1}$ ）。 $G$ の最も自然な表現。
その微分 $\mathrm{ad}_X=[X,-]$ ＝リー括弧。共役を二回微分すると括弧が出る——第4章の括弧が群構造から導かれる。
キリング形式 $B(X,Y)=\operatorname{tr}(\mathrm{ad}_X\mathrm{ad}_Y)$ ＝ $\mathrm{ad}$ から作る $\mathrm{Ad}$ 不変な内積。半単純性・コンパクト性の判定器（第12章）。
Part II（指数写像と対応）はここまで。次章から構造と表現へ。まず「部分群の切り出し方」と、群が作る幾何——閉部分群定理と等質空間 $G/H$ を扱います。

次章では、閉部分群定理（閉部分群は自動的にリー群）と、商 $G/H$ として現れる等質空間（球面など）を見ます。

第8章 随伴表現