⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第10章 内積空間

ベクトル空間には、まだ「長さ」が無かった

ここまでの9章、実は一度も「長さ」や「角度」を使っていません。ベクトル空間の公理は 足し算とスカラー倍だけで、「このベクトルは長い」「この2本は直角」は語れなかったのです。 一次独立は「ダブりが無い」であって「直交」ではなかった（第1章の注意）——これがその理由です。

でも幾何をやるには、長さと角度が要ります。それを一挙に導入する魔法の一手が内積。 2本のベクトルに一つの数を対応させるだけで、そこから長さ・角度・直交・射影がすべて定義できます。 内積の入ったベクトル空間を内積空間といい、ここでようやく線形代数が“幾何”になります。

内積 ＝ 2ベクトルに数を返す積。これ一つから長さ・角度・直交・射影が生まれる。

内積と、そこから出る長さ・角度

定義 内積

実ベクトル空間上の内積 ⟨u,v⟩\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle は、次を満たす： 対称性 ⟨u,v⟩=⟨v,u⟩\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle=\langle\mathbf v,\mathbf u\rangle、各引数について線形、 正定値性 ⟨v,v⟩≥0\langle\mathbf v,\mathbf v\rangle\ge0（等号は v=0\mathbf v=\mathbf 0 のみ）。 Rn\mathbb R^n の標準内積は ⟨u,v⟩=∑uivi\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle=\sum u_iv_i。 （複素の場合は ⟨u,v⟩=⟨v,u⟩‾\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle=\overline{\langle\mathbf v,\mathbf u\rangle} のエルミート内積。）

内積から長さ（ノルム）を ∥v∥=⟨v,v⟩\|\mathbf v\|=\sqrt{\langle\mathbf v,\mathbf v\rangle} と定め、 角度を cos⁡θ=⟨u,v⟩∥u∥ ∥v∥\cos\theta=\dfrac{\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle}{\|\mathbf u\|\,\|\mathbf v\|} で定めます。 とくに ⟨u,v⟩=0\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle=0 を直交と呼ぶ。角度の定義が意味を持つのは、 分数の絶対値が 11 を超えないことが保証されるからで、それが次の基本不等式です。

定理 コーシー–シュワルツの不等式

∣⟨u,v⟩∣≤∥u∥ ∥v∥,|\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle|\le\|\mathbf u\|\,\|\mathbf v\|, 等号成立は u,v\mathbf u,\mathbf v が平行なとき。これから三角不等式 ∥u+v∥≤∥u∥+∥v∥\|\mathbf u+\mathbf v\|\le\|\mathbf u\|+\|\mathbf v\| が従う。

「内積は、それぞれの長さの積を超えられない」。∥u−tv∥2≥0\|\mathbf u-t\mathbf v\|^2\ge0 を tt の二次式とみて 判別式をとるだけで出ます。この不等式は ∑uivi≤∑ui2∑vi2\sum u_iv_i\le\sqrt{\sum u_i^2}\sqrt{\sum v_i^2} や、 積分版（→微分積分学・関数解析の L2L^2）まで、 形を変えて数学中に現れる最重要不等式です。

正規直交基底とグラム–シュミット

基底の中でも、互いに直交して長さ 11 のものが飛び抜けて扱いやすい。座標が内積で一発で読めるからです。

定義 正規直交基底

⟨ei,ej⟩=δij\langle\mathbf e_i,\mathbf e_j\rangle=\delta_{ij}（直交かつ各長さ 11）を満たす基底を正規直交基底という。 このとき任意の v\mathbf v の座標は v=∑i⟨v,ei⟩ei\mathbf v=\sum_i\langle\mathbf v,\mathbf e_i\rangle\mathbf e_i と、内積で直接求まる。

一般の基底だと座標を求めるのに連立方程式が要りますが、正規直交基底なら「各軸へ内積で射影するだけ」。 では、普通の基底から正規直交基底を作れるか？ できます。

定理 グラム–シュミットの直交化

一次独立な a1,…,an\mathbf a_1,\dots,\mathbf a_n から、同じ空間を張る正規直交基底 e1,…,en\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n が作れる： 各段で「これまでの ei\mathbf e_i 方向の成分を引き去って」直交させ、長さ 11 に正規化する。 uk=ak−∑i<k⟨ak,ei⟩ei,ek=uk/∥uk∥.\mathbf u_k=\mathbf a_k-\sum_{i<k}\langle\mathbf a_k,\mathbf e_i\rangle\mathbf e_i,\qquad \mathbf e_k=\mathbf u_k/\|\mathbf u_k\|.

発想は「新しいベクトルから、すでに作った直交軸への影を全部差し引く」。残った成分は 自動的に既存の軸すべてと直交します。これは行列の QRQR 分解の背骨でもあり、次章の スペクトル定理（直交行列で対角化）を支えます。

直交補空間と直交射影

定義 直交補空間

部分空間 WW に対し、WW のすべてと直交するベクトル全体 W⊥={v:⟨v,w⟩=0 ∀w∈W}W^\perp=\{\mathbf v:\langle\mathbf v,\mathbf w\rangle=0\ \forall\mathbf w\in W\} を 直交補空間という。V=W⊕W⊥V=W\oplus W^\perp、dim⁡W⊥=dim⁡V−dim⁡W\dim W^\perp=\dim V-\dim W。

空間が WW と W⊥W^\perp の直和（第5章）に、しかも直角に分かれる。だから任意のベクトルは 「WW 内の成分」と「WW に直交する成分」に一意に分けられます。この前者を取り出すのが射影です。

定理 直交射影と最短近似

v\mathbf v の WW への直交射影 PWv=∑i⟨v,ei⟩eiP_W\mathbf v=\sum_i\langle\mathbf v,\mathbf e_i\rangle\mathbf e_i （{ei}\{\mathbf e_i\} は WW の正規直交基底）は、WW の中で v\mathbf v に最も近い点： ∥v−PWv∥≤∥v−w∥ (∀w∈W)\|\mathbf v-P_W\mathbf v\|\le\|\mathbf v-\mathbf w\|\ (\forall\mathbf w\in W)。

「影を落とすのが最短の近似」。最小二乗法（データに最も合う直線を引く）は、まさにこの直交射影で、 WW を「実現可能な予測の空間」とみて、観測に一番近い予測を射影で選ぶ操作です。 線形代数が統計や数値解析へ直結する、実用の要所です。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 内積は空間に後から入れる“追加の構造”。 同じベクトル空間でも内積の入れ方を変えれば長さ・直交が変わる。標準内積が唯一ではない。
  • 直交 ⇒ 一次独立だが、逆は成り立たない。 独立でも直交とは限らない。直交させるのがグラム–シュミット。
  • 複素内積は片方の引数で共役をとる（エルミート）。実の感覚のまま複素で計算すると符号を落とす。

この章のまとめ

  • 内積を入れると、長さ・角度・直交・射影がすべて定義できる。線形代数がここで“幾何”になる。コーシー–シュワルツが角度の定義を支える最重要不等式。
  • 正規直交基底は座標が内積で読める最良の基底。任意の基底からグラム–シュミットで作れる。
  • 空間は W⊕W⊥W\oplus W^\perp と直角に分かれ、直交射影は「WW 内で最も近い点」を与える（最小二乗法の心）。

内積が入ったことで、作用素にも「対称・ユニタリ」といった良い分類が生まれます。次章は随伴作用素とスペクトル定理へ。