第11章随伴作用素とスペクトル定理

内積と“仲の良い”作用素を選び抜く

第8章で「対角化できる行列とできない行列がある」と学びました。では、どんな作用素なら 必ず・しかも一番きれいに対角化できるのか？内積（第10章）を手に入れた今、その決定版が言えます。

鍵は、内積を通して作用素に定まる相棒——随伴作用素です。「自分の随伴と等しい（対称・エルミート）」「随伴が逆になる（ユニタリ・直交）」といった、内積と相性のよい作用素は、 正規直交基底で対角化できる。しかも固有ベクトルが直交する。これがスペクトル定理で、線形代数の美しさが最高潮に達する定理です。実対称行列がいつも直交行列で対角化できるのも、すべてここから出ます。

内積が定める「随伴」で作用素を分類する。正規なものは正規直交基底で対角化できる——スペクトル定理。

随伴作用素

定義随伴作用素

作用素 $A$ に対し、すべての $\mathbf u,\mathbf v$ で $\langle A\mathbf u,\mathbf v\rangle=\langle\mathbf u,A^*\mathbf v\rangle$ を満たす $A^*$ を随伴作用素という。正規直交基底での表現行列は、 $A^*=\overline{A}^{\top}$ （複素）／ $A^{\top}$ （実）＝転置（共役転置）。

「内積の中で、 $A$ を左から右へ移すと $A^*$ になる」。第5章の転置写像を、内積で測り直したものが随伴です。この $A^*$ との関係で、作用素を分類します。

定義作用素の分類

エルミート（実なら対称）： $A^*=A$ 。固有値は実。
ユニタリ（実なら直交）： $A^*=A^{-1}$ 。長さと角度を保つ（ $\|A\mathbf v\|=\|\mathbf v\|$ ）。固有値は絶対値 $1$ 。
正規： $A^*A=AA^*$ （ $A$ と $A^*$ が可換）。上の2つを含む最も広いクラス。

直交行列は「回転・鏡映」、対称行列は「伸縮（ひずみ）」——物理的にもなじみ深い作用素です。そしてこれら全部に共通する性質が「正規（ $A$ と随伴が可換）」で、これがスペクトル定理の条件になります。

スペクトル定理

定理スペクトル定理（複素・正規行列）

複素行列 $A$ について、次は同値：

$A$ は正規（ $A^*A=AA^*$ ）。
$A$ はユニタリ行列で対角化できる（固有ベクトルからなる正規直交基底が存在）。すなわち $U^*AU=D$ （ $U$ ユニタリ、 $D$ 対角）。

第8章の対角化は「 $P$ が正則でありさえすればよい」でしたが、ここでは $P$ をユニタリ（＝正規直交基底） に格上げできる、というのがご褒美です。固有ベクトルが直交するので、 $P^{-1}$ が転置一発で書け、分解が数値的にも安定します。第8章の可換⇒同時対角化の精密版とも言えます。

定理実対称行列の直交対角化

実対称行列 $A$ （ $A^\top=A$ ）は、実の直交行列で対角化できる： $Q^\top AQ=D$ （ $Q$ 直交、 $D$ 実対角）。固有値はすべて実で、異なる固有値の固有ベクトルは直交する。

これが応用上いちばん使う形です。実対称行列は必ず、実の固有値と直交する固有ベクトルを持ち、きれいに対角化できる。第9章のジョルダン細胞のような“崩れ”は、対称行列では決して起きません。共分散行列（統計・主成分分析）やヘッセ行列（→微分積分学第10章の極値判定）が対称なのは、この定理があるからこそ扱いやすい。伏線がここで回収されます。

特異値分解：正方行列でなくても

対称でも正方でもない一般の行列にも、スペクトル定理の恩恵を及ぼす分解があります。

定理特異値分解（SVD）

任意の $m\times n$ 実（複素）行列 $A$ は $A=U\Sigma V^{\top}\quad(U,V\ \text{は直交/ユニタリ},\ \Sigma\ \text{は非負対角})$ と分解できる。 $\Sigma$ の対角成分 $\sigma_i\ge0$ を特異値といい、 $A^\top A$ （対称・半正定値）の固有値の平方根に等しい。

意味は「どんな線形写像も、回転 → 各軸で伸縮 → 回転の3段に分解できる」。固有値分解が正方・対角化可能に限られたのに対し、SVD はあらゆる行列に使えます。データ圧縮（大きい特異値だけ残す低ランク近似）、擬似逆行列、主成分分析、推薦システム——現代の応用数学で最も使われる分解の一つです。第10章の直交射影・最小二乗も、SVD の言葉で統一的に説明できます。

つまずきポイント

注意よくある誤解

対称行列でなくても対角化できることはある（第8章）。だが「直交行列で・固有ベクトルが直交して」対角化できるのは正規行列に限る。普通の対角化とスペクトル定理を区別する。
ユニタリ/直交は「長さを保つ」。 回転・鏡映がその実体。固有値の絶対値が $1$ 。
特異値は固有値ではない（非負・ $A^\top A$ 由来）。正方でない行列に固有値は無いが、特異値は常にある。

この章のまとめ

内積が定める随伴 $A^*$ （＝共役転置）で作用素を分類：エルミート／対称（ $A^*=A$ ）、ユニタリ／直交（ $A^*=A^{-1}$ ）、正規（可換）。
スペクトル定理：正規行列はユニタリで対角化でき、固有ベクトルが正規直交。実対称行列は実の直交行列で対角化でき、崩れ（ジョルダン細胞）が起きない。
特異値分解はあらゆる行列を「回転→伸縮→回転」に分解し、低ランク近似・最小二乗・主成分分析の土台になる。

最終章は、対称行列と表裏一体の二次形式——正定値・慣性法則・同時対角化を扱い、微積分の極値判定へ橋を架けます。

第11章 随伴作用素とスペクトル定理