⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第2章 基底と次元

「ちょうどいい部品セット」はいくつ必要か

前章で2つの性質を手に入れました。生成系（全部作れるが、多すぎるかも）と 一次独立（ムダは無いが、足りないかも）。理想は、この両方を同時に満たす部品セット—— 過不足なく空間全体を作れる、ムダのないベクトルの集まりです。これを基底と呼びます。

基底が決まると、空間の中のどんなベクトルも「部品を何個ずつ使うか」という数の組で 一意に表せます。R3\mathbb R^3 なら座標 (x,y,z)(x,y,z) がまさにそれ。基底とは、抽象的な空間に 座標という物差しを入れる行為なのです。そして「部品が何個必要か」という数が、 空間の大きさ＝次元になります。

基底 ＝ 生成系かつ一次独立。抽象的な空間に「座標」を導入し、その本数が「次元」を決める。

基底の定義と、表示の一意性

定義 基底

VV のベクトルの組 {e1,…,en}\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\} が基底とは、 生成系であり、かつ一次独立であること。

命題 座標の一意性

{ei}\{\mathbf e_i\} が基底なら、任意の v∈V\mathbf v\in V は v=x1e1+⋯+xnen\mathbf v=x_1\mathbf e_1+\cdots+x_n\mathbf e_n とただ一通りに表せる。 この (x1,…,xn)(x_1,\dots,x_n) を、その基底に関する v\mathbf v の座標という。

なぜ一通りか。2通りの表し方 ∑xiei=∑yiei\sum x_i\mathbf e_i=\sum y_i\mathbf e_i があれば、引き算して ∑(xi−yi)ei=0\sum(x_i-y_i)\mathbf e_i=\mathbf 0。一次独立だから係数はすべて 00、つまり xi=yix_i=y_i。 「生成系」が表示の存在を、「一次独立」が表示の一意性を保証する——基底の2条件が、 きれいに役割分担しているのが見どころです。

次元の一意性：これが理論の土台

基底の取り方は無数にあります（R2\mathbb R^2 なら {(1,0),(0,1)}\{(1,0),(0,1)\} でも {(1,1),(1,−1)}\{(1,1),(1,-1)\} でもよい）。 でも、どの基底を選んでも本数だけは必ず同じ。この事実がなければ「次元」は定義できません。

定理 置換定理（次元の一意性）

一次独立なベクトルの個数は、生成系のベクトルの個数を超えない。 したがって、VV の任意の2つの基底は同じ個数のベクトルからなる。 その共通の個数を VV の次元 dim⁡V\dim V という。

心臓部は「一次独立 ≤\le 生成系」。生成系の各ベクトルを、独立なベクトルで一つずつ 置き換えていっても生成系のまま保てる（シュタイニッツの置換）ため、独立なものが生成系より 多くはなれない。これを両向きに使えば、2つの基底は互いに相手以下、つまり同数。 「次元がちゃんと決まる」という、当たり前に見えて実は証明を要する事実です。

例 次元いろいろ

dim⁡Rn=n\dim \mathbb R^n=n、m×nm\times n 行列全体は dim⁡=mn\dim=mn、次数 nn 以下の多項式 PnP_n は 基底 {1,x,…,xn}\{1,x,\dots,x^n\} で dim⁡=n+1\dim=n+1。連続関数 C[a,b]C[a,b] は有限個の基底では張れず、dim⁡=∞\dim=\infty。

定理 基底の存在と延長・間引き

有限次元空間では、（1）どんな一次独立な組も基底に延長でき、（2）どんな生成系からも基底を 間引いて取り出せる。特に基底は必ず存在する。

「足りなければ独立を保って足す」「多すぎればダブりを捨てる」。両側から基底という ちょうどの本数に追い込める、という便利な定理です。

次元が効く典型パターン

命題 次元による自動判定

dim⁡V=n\dim V=n のとき、nn 本のベクトルについて「一次独立」と「生成系」は同値。 すなわち、nn 本が独立ならそれだけで基底、nn 本が生成系ならそれだけで基底。

本数が次元と一致していれば、独立性か生成性のどちらか一方を確かめるだけでよい。 実務で「nn 個のベクトルが基底か」を判定するとき、この事実が手間を半分にします （行列式が 00 でないか一つ調べれば済む、など。第6章で再登場）。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 座標はベクトルそのものではない。 (x1,…,xn)(x_1,\dots,x_n) は「どの基底で見たか」に依存する。 基底を変えれば同じベクトルでも座標は変わる（第4章の基底変換）。
  • 次元は空間の性質、基底は選び方。 基底は無数にあるが、次元は一つに決まる。
  • 無限次元では「有限個の基底」は取れない。関数空間などでは基底の概念自体を拡張する（→関数解析）。

この章のまとめ

  • 基底＝生成系かつ一次独立。空間に座標を入れ、各ベクトルを一意な数の組で表す物差し。
  • 置換定理により、どの基底も本数が同じ。その本数が次元 dim⁡V\dim V。次元が定義できること自体が定理。
  • 一次独立な組は基底に延長でき、生成系からは基底を間引ける。本数が次元と一致すれば独立性だけで基底と分かる。

次章は、ベクトル空間の間の「構造を保つ写像」——線形写像を導入し、核・像・階数へ進みます。