⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

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第3章 線形写像

「空間を、まっすぐさを壊さずに移す」写像

ベクトル空間そのものを調べてきましたが、数学の主役はいつも対象そのものより、対象の間の写像です （この見方を突き詰めると圏論になります）。ベクトル空間にとって自然な写像とは、 その構造——足し算とスカラー倍——を壊さない写像。これを線形写像といいます。

イメージは「原点を固定したまま、格子を格子のまま伸ばす・回す・つぶす」変換。曲げたりずらしたり しない。回転・拡大・射影・微分・積分——一見バラバラな操作が、実はすべて線形写像です。 そして線形写像は、その「つぶれ方（核）」と「届く範囲（像）」の2つで、性格がほぼ決まります。

線形写像 ＝ 足し算とスカラー倍を保つ写像。「何がつぶれ、どこに届くか」で本質が分かる。

定義と例

定義 線形写像

ベクトル空間 V,WV,W の間の写像 T:V→WT:V\to W が線形写像とは、 T(u+v)=T(u)+T(v),T(av)=a T(v).T(\mathbf u+\mathbf v)=T(\mathbf u)+T(\mathbf v),\qquad T(a\mathbf v)=a\,T(\mathbf v). まとめて T(au+bv)=aT(u)+bT(v)T(a\mathbf u+b\mathbf v)=aT(\mathbf u)+bT(\mathbf v)。V=WV=W のときは線形変換ともいう。

例 線形写像はどこにでもいる

行列を掛ける x↦Ax\mathbf x\mapsto A\mathbf x、平面の回転、R3→R2\mathbb R^3\to\mathbb R^2 の射影（zz を捨てる）、 多項式を微分する p↦p′p\mapsto p'、関数を積分する f↦∫axff\mapsto\int_a^x f。最後の2つのように、 線形代数は微積分（→微分積分学）とも直結する。

線形性の帰結として、T(0)=0T(\mathbf 0)=\mathbf 0 が必ず成り立ちます（原点は動かない）。 また、基底 {ei}\{\mathbf e_i\} での行き先 T(ei)T(\mathbf e_i) さえ決めれば、T(∑xiei)=∑xiT(ei)T(\sum x_i\mathbf e_i)=\sum x_i T(\mathbf e_i) で すべてのベクトルの行き先が決まる。線形写像は「基底の行き先だけ」で完全に指定できる—— これが次章の「行列表示」の種になります。

核と像：つぶれ方と届く範囲

定義 核と像

核 ker⁡T={v∈V:T(v)=0}\ker T=\{\mathbf v\in V: T(\mathbf v)=\mathbf 0\}（0\mathbf 0 につぶれるベクトル全体）、 像 im⁡T={T(v):v∈V}\operatorname{im}T=\{T(\mathbf v):\mathbf v\in V\}（届く先の全体）。 どちらも部分空間である。dim⁡(im⁡T)\dim(\operatorname{im}T) を TT の階数 rank⁡T\operatorname{rank}T、 dim⁡(ker⁡T)\dim(\ker T) を退化次数という。

核は「情報が消える方向」、像は「出力に現れる範囲」。この2つが、写像が単射か全射かを直接教えます。

命題 単射・全射の判定

TT が単射   ⟺  ker⁡T={0}\iff \ker T=\{\mathbf 0\}（つぶれる方向が無い）。 TT が全射   ⟺  im⁡T=W\iff \operatorname{im}T=W。

とくに単射の判定が強力です。一般の写像なら「T(u)=T(v)⇒u=vT(\mathbf u)=T(\mathbf v)\Rightarrow\mathbf u=\mathbf v」を 確かめねばなりませんが、線形なら T(u−v)=0T(\mathbf u-\mathbf v)=\mathbf 0、つまり核が原点だけかを見るだけ。 差に着目すれば一点の話に帰着する——線形性のありがたみです。

すべてを貫く次元定理

核（つぶれる分）と像（残る分）は、次の一本の等式で結ばれます。線形代数で最も使う定理です。

定理 次元定理（rank–nullity）

T:V→WT:V\to W（VV は有限次元）に対し dim⁡V=rank⁡T+dim⁡(ker⁡T)=dim⁡(im⁡T)+dim⁡(ker⁡T).\dim V=\operatorname{rank}T+\dim(\ker T)=\dim(\operatorname{im}T)+\dim(\ker T).

意味は保存則です。入力の次元 ＝ 出力に残る次元 ＋ つぶれて消える次元。 VV の基底のうち、ker⁡T\ker T を張る分は消え、残りが像を過不足なく張る——だから足すと元に戻る。 T(ei)T(\mathbf e_i) の行き先を数えるだけで、この分配が見えます。

例 次元定理の使い方

T:R5→R3T:\mathbb R^5\to\mathbb R^3 が全射なら rank⁡T=3\operatorname{rank}T=3 なので dim⁡ker⁡T=5−3=2\dim\ker T=5-3=2。 「連立方程式 Ax=0A\mathbf x=\mathbf 0（AA は 3×53\times5）の解空間は 22 次元」——解を一つも求めずに、 自由度が分かる。方程式の理論が、そっくり次元の勘定に翻訳される。

同型定理

線形写像で「同じ構造」を持つ空間を結びつけます。

定義 同型

全単射な線形写像 T:V→WT:V\to W が存在するとき VV と WW は同型(V≅WV\cong W)という。 同型な空間は、線形代数の立場ではまったく同じとみなせる。

定理 同型定理と次元による分類

準同型定理：V/ker⁡T≅im⁡TV/\ker T\cong\operatorname{im}T。とくに有限次元では、 V≅W  ⟺  dim⁡V=dim⁡W.V\cong W\iff\dim V=\dim W. したがって nn 次元空間はすべて Rn\mathbb R^n（または KnK^n）と同型。

後半は驚くべき単純さです。有限次元ベクトル空間は、次元というたった一つの数で完全に分類される。 次数 ≤n\le n の多項式も、m×nm\times n 行列全体も、次元が合えば KnK^n と本質的に同じ。 だからこそ、抽象的な空間の問題を、いつでも数ベクトルと行列の計算に落とせるのです。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 核が原点だけ＝単射。 「核が小さい」ではなく「核が {0}\{\mathbf 0\} ちょうど」が単射の条件。
  • 次元定理の dim⁡V\dim V は始域の次元。終域 WW の次元ではない。混同しやすい。
  • 同型「≅\cong」は「等しい」ではなく「構造が同じ」。座標を通して同一視しているだけで、 中身（多項式か行列か）は違う。

この章のまとめ

  • 線形写像は足し算とスカラー倍を保つ写像。基底の行き先だけで完全に決まる。
  • 核（つぶれる方向）と像（届く範囲）で単射・全射が判定でき、両者は次元定理 dim⁡V=rank⁡+dim⁡ker⁡\dim V=\operatorname{rank}+\dim\ker で結ばれる。
  • 同型定理により、有限次元空間は次元だけで分類される。抽象的な空間はいつでも KnK^n と行列に翻訳できる。

次章は、その翻訳を具体化します。線形写像を行列で表し、基底を変えると行列がどう変わるかを見ます。