第4章 表現行列と基底変換
抽象的な線形写像を、数の表に落とす
前章で「線形写像は基底の行き先だけで完全に決まる」ことを見ました。ならば、その行き先を 数の組（座標）で書いて並べれば、写像そのものを数の表＝行列で表せるはずです。 これが表現行列。抽象的な を、計算できる行列に変換する橋渡しです。
まず、行列を掛けるという操作が平面をどう動かすのか、手を動かして体で覚えましょう。 下のスライダーで行列 の成分を変えると、格子・基底ベクトルの像・単位正方形の像が変わります。 「行列＝空間の変形」という感覚が、この章のすべての土台になります。
表現行列の作り方
定義 表現行列
の基底 、 の基底 を固定する。 と表したとき、 を の表現行列という。 つまり の第 列は、 番目の基底ベクトルの行き先 の座標。
覚え方はこれだけ：「基底の行き先を、縦に並べて列にする」。すると座標の計算が行列の掛け算に一致します。
命題 座標と行列の掛け算
の座標を 、 の座標を とすると 。
これで抽象的な写像の適用が、機械的な行列×ベクトルに化けます。しかも合成写像は行列の積に対応 （ の表現行列は ）。**「行列の掛け算はなぜあの奇妙な定義なのか」**の答えがこれです。 合成写像を座標で表そうとすると、必然的にあの積の規則が出てくる。掛け算の定義は天下りではなく、 写像の合成の影だったのです。
基底を変えると、行列はどう変わるか
同じ線形写像でも、どの基底で見るかによって表現行列は変わります（同じ物体でも、 座標軸を変えれば座標が変わるのと同じ）。この変わり方を押さえるのが基底変換です。
定義 基底変換行列
古い基底 を新しい基底 で表す係数を並べた正則行列 （）を基底変換行列という。座標は で変換される。
定理 表現行列の変換則（相似）
線形変換 の、基底 での表現行列を 、基底 での表現行列を とすると この関係にある行列 は相似であるという。
意味は「新しい座標で見る → 一度古い座標に戻して（）→ 変換し（）→ また新しい座標に直す（）」。 両替をして計算してまた両替で戻す、という三段構えです。相似な行列は、同じ線形写像を違う角度から 撮った写真にすぎません。だから相似で変わらない量——行列式・トレース・固有値——は、 写像そのものの性質として意味を持ちます（第6・7章で主役になります）。
注意 この章の狙いは第8章への布石
表現行列は基底の選び方で変わる。ならば「いちばん簡単に見える基底」を選べば、写像の正体が すっきり見えるはず。その理想の基底を探すのが対角化（第8章）であり、うまく対角化できないときの 次善の形がジョルダン標準形（第9章）です。基底変換は、そこへ向かう道具立てです。
階数は行列でも読める
命題 行列の階数
表現行列 の階数（一次独立な列の最大本数＝像の次元）は、行基本変形で階段形にし、 非ゼロの段の数を数えれば求まる。これは前章の と一致する。
抽象的な「像の次元」が、行列を掃き出すだけで計算できる。次元定理 も、 連立一次方程式の「主変数の数＋自由変数の数」として目に見える形になります。
つまずきポイント
注意 よくある誤解
- 表現行列は列に「行き先」を書く。 行に書くと転置になってしまう。「基底の行き先＝列」を徹底する。
- 変換則の の向き（ か か）は、 を「新→旧」で定義したか「旧→新」かで逆になる。 定義を毎回確認する。
- 相似 は同じ写像の別表示。行列の成分は変わるが、写像としては同一。
この章のまとめ
- 線形写像は「基底の行き先を列に並べる」ことで表現行列になり、写像の適用が 、合成が行列の積になる。行列の掛け算の定義は、写像の合成の影。
- 基底を変えると表現行列は相似変換 で変わる。相似は「同じ写像の別アングル」。
- 相似で不変な量（行列式・トレース・固有値）は写像そのものの性質。「最も簡単な基底」を探す動機が、後の対角化につながる。
次章は、部分空間どうしの和・直和・共通部分の次元公式と、空間の“影”である双対空間を扱います。