⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第5章 部分空間の操作と双対空間

部分空間どうしを、足したり交わらせたり

一つの空間の中には、たくさんの部分空間（原点を通る直線や平面）が住んでいます。 それらを組み合わせる自然な操作が2つ。共通部分（どちらにも属する）と和（片方の要素を足して作れる全体）。 集合の ∩\cap と ∪\cup に似ていますが、∪\cup は部分空間になりません（2直線の合併は平面にならない）。 そこで「和」は ∪\cup ではなく「足し算で作れる全部」と定義します。

面白いのは、これらの次元がきれいな公式で結ばれること。そして「和が重なりなくぴったり組み合う」 特別な場合＝直和が、空間を独立な部品に分解する鍵になります。後半では視点を変え、 「ベクトルを数に測る関数」を集めた双対空間という、影のようなもう一つの空間を導入します。

部分空間は ∩\cap と「和」で組み合わせる。重なり無しに組むのが直和。双対はベクトルを測る側の空間。

和・共通部分と次元公式

定義 和と共通部分

部分空間 U,WU,W に対し、共通部分 U∩WU\cap W と 和 U+W={u+w:u∈U,w∈W}U+W=\{\mathbf u+\mathbf w:\mathbf u\in U,\mathbf w\in W\} は、ともに部分空間。

定理 次元公式

dim⁡(U+W)=dim⁡U+dim⁡W−dim⁡(U∩W).\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).

包除原理（集合の ∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|）とそっくりの形です。 UU と WW を単純に足すと、共通部分 U∩WU\cap W を二重に数えてしまうので、その分を引く。 証明も直感通り：U∩WU\cap W の基底をまず取り、それを UU 側・WW 側へそれぞれ延長して合わせると U+WU+W の基底になり、本数を数えると上の式になります。

例 平面内の2直線

R3\mathbb R^3 内の異なる2枚の平面 U,WU,W（各 dim⁡2\dim2）は、U+W=R3U+W=\mathbb R^3（dim⁡3\dim3）なら dim⁡(U∩W)=2+2−3=1\dim(U\cap W)=2+2-3=1。すなわち必ず1本の直線で交わる。次元公式が交わりの存在を保証する。

直和：重なりゼロで組み合わせる

定義 直和

U∩W={0}U\cap W=\{\mathbf 0\} のとき、和 U+WU+W を直和といい U⊕WU\oplus W と書く。 このとき dim⁡(U⊕W)=dim⁡U+dim⁡W\dim(U\oplus W)=\dim U+\dim W で、U⊕WU\oplus W の各ベクトルは u+w\mathbf u+\mathbf w（u∈U,w∈W\mathbf u\in U,\mathbf w\in W）と一意に分解される。

直和は「ダブりゼロで組み合う」理想の合体。座標軸 xx 軸と yy 軸が平面を直和分解するように、 空間を互いに干渉しない部品に割ることができます。この「独立な部分に分ける」発想は、 固有空間分解（第7章）やジョルダン分解（第9章）で、空間を写像に沿って砕くときの中心概念になります。

商空間：部分空間で「割る」

定義 商空間

部分空間 W⊂VW\subset V で「WW の分の違いは無視する」とみなして作る空間を商空間 V/WV/W という。 v\mathbf v と v′\mathbf v' は v−v′∈W\mathbf v-\mathbf v'\in W のとき同一視する。dim⁡(V/W)=dim⁡V−dim⁡W\dim(V/W)=\dim V-\dim W。

「WW 方向のズレを気にしない世界」。前章までの準同型定理 V/ker⁡T≅im⁡TV/\ker T\cong\operatorname{im}T は、 まさにこの商空間の言葉でした（核の分だけつぶして像を得る）。群や環の剰余（→群論・ 環論）と同じ「割り算」の発想が、ベクトル空間でも働いています。

双対空間：ベクトルを「測る」側の空間

いままでベクトルを主役にしてきましたが、視点を反転します。ベクトルを受け取って数を返す 線形な関数を考える。長さを測る、成分を読む、内積をとる——これらはみな「ベクトル → 数」の 線形写像です。この測定器たちを集めると、それ自体が一つのベクトル空間になります。

定義 双対空間と双対基底

VV から KK への線形写像（線形汎関数）全体を双対空間 V∗V^* という。 基底 {ei}\{\mathbf e_i\} に対し、ei∗(ej)=δije_i^*(\mathbf e_j)=\delta_{ij}（i=ji=j で 11、他は 00）で定まる {ei∗}\{e_i^*\} を双対基底といい、dim⁡V∗=dim⁡V\dim V^*=\dim V。

ei∗e_i^* は「第 ii 座標を読み取る係」。双対基底のおかげで V∗V^* も同じ次元の空間になり、 VV と V∗V^* は（基底を選べば）同型です。さらに双対をもう一度とると——

定理 二重双対と転置写像

自然な同型 V≅V∗∗V\cong V^{**} がある（v\mathbf v を「f↦f(v)f\mapsto f(\mathbf v)」とみなす。有限次元で基底に依らない）。 線形写像 T:V→WT:V\to W に対し、W∗W^* の測定器を V∗V^* へ引き戻す転置写像 T∗:W∗→V∗, T∗(g)=g∘TT^*:W^*\to V^*,\ T^*(g)=g\circ T が定まり、その表現行列は TT の表現行列の転置。

行列の「転置」が、実は測定器を引き戻す操作だった、という種明かしです。二重双対が 元の空間に自然に戻ることは、「ベクトルとは、それを測る測定器の全体で決まる」という 双対的な世界観を示していて、この考え方は圏論の米田の補題へとつながります。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 部分空間の「和」は合併 ∪\cup ではない。 U∪WU\cup W は普通部分空間でない。足して作れる全体 U+WU+W を使う。
  • 直和は「共通部分が原点だけ」。 「重ならない」ではなく「{0}\{\mathbf 0\} で交わる」が正確な条件。
  • V≅V∗V\cong V^* は基底に依存する同型だが、V≅V∗∗V\cong V^{**} は基底に依らない自然な同型。この差は重要。

この章のまとめ

  • 部分空間は ∩\cap と和 ++ で組み合わせ、次元は包除の形 dim⁡(U+W)=dim⁡U+dim⁡W−dim⁡(U∩W)\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)。共通部分が {0}\{\mathbf 0\} なら直和で、空間を独立な部品に分解できる。
  • 商空間 V/WV/W は「WW 方向のズレを無視する」割り算。準同型定理はこの言葉で書ける。
  • 双対空間 V∗V^* は「ベクトルを測る線形関数」の空間。転置写像は測定器の引き戻しで、行列の転置の正体。

前半（空間・写像・行列）が完成しました。次章から後半戦。まずは相似不変量の一つ行列式へ。