第6章行列式

行列式とは「どれだけ引き伸ばすか」の一つの数

$n\times n$ の行列に、たった一つの数を対応させる——それが行列式です。定義の式は複雑に見えますが、その正体はいたって直感的。**「その行列が、面積（体積）を何倍に拡大するか」**を表す数です。

下の装置で確かめましょう。行列 $A$ を動かすと、単位正方形（面積 $1$ ）が平行四辺形に変形します。その平行四辺形の面積が $|\det A|$ 。しかも $\det A$ が負になると平行四辺形の向きが裏返る（色が変わる）。つまり行列式は「拡大率」と「向きの保存/反転」を同時に担う、一つの符号付きの数なのです。

とくに $\det A=0$ は「面積が $0$ につぶれる」＝空間が低次元に潰れることを意味し、これが「 $A$ が正則でない（逆行列を持たない・写像がつぶれる）」ことの判定になります。

性質から定義する：多重線形性と交代性

「面積の拡大率」を、公理として書き下します。面積が満たすべき当たり前の性質を並べるだけです。

定義行列式の特徴づけ

$\det$ は各列（または各行）について次を満たす唯一の関数として定まる：

多重線形性：各列について線形（一つの列を $2$ 倍すれば面積も $2$ 倍、列の和には分配）。
交代性： $2$ つの列を入れ替えると符号が変わる（等しい列があれば $\det=0$ ）。
正規化： $\det I=1$ （単位正方形の面積は $1$ ）。

「列を伸ばせば面積も比例（線形）」「同じ列＝つぶれて面積 $0$ （交代）」——すべて面積の常識です。この3条件を満たす関数は一つしかなく、それが行列式。ここから具体的な式が出ます。

定理置換による表示（ライプニッツ）

$\det A=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\,a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}.$ $S_n$ は $n$ 文字の置換全体、 $\operatorname{sgn}$ は置換の符号（偶置換 $+1$ ・奇置換 $-1$ ）。

各項は「各行から重ならないように一個ずつ選んだ積」、符号は選び方の“ねじれ”（交代性の反映）。群論の対称群 $S_n$ がここに顔を出します。この式から基本性質が芋づる式に出ます。

定理行列式の基本性質

$\det(AB)=\det A\,\det B$ 、 $\det A^{\top}=\det A$ 、 $A$ が正則 $\iff\det A\ne0$ （このとき $\det A^{-1}=1/\det A$ ）。

$\det(AB)=\det A\det B$ は「合成写像の拡大率＝拡大率の積」。面積で考えれば当然で、行列式が“写像の性質”であること（相似不変： $\det(P^{-1}AP)=\det A$ ）を裏づけます。

実際に計算する

定義の和は項数 $n!$ で膨大。実務では次の2つを使います。

定理余因子展開（ラプラス展開）

一つの行（または列）に沿って $\det A=\sum_{j} (-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij},$ $M_{ij}$ は第 $i$ 行・第 $j$ 列を除いた小行列式。次数を一つ下げて再帰的に計算できる。

定理行基本変形による計算

行の入れ替えで符号反転、行の定数倍で $\det$ も同じ倍、「行に他の行の定数倍を足す」は $\det$ 不変。これで上三角形にすれば、 $\det$ は対角成分の積。大きな行列はこちらが速い（ $O(n^3)$ ）。

余因子展開は小さい行列や理論に、行基本変形は大きい数値計算に向く、と使い分けます。

クラメルの公式

行列式は、連立一次方程式の解を“公式”として書き下すこともできます。

定理クラメルの公式

$\det A\ne0$ のとき、 $A\mathbf x=\mathbf b$ の解は $x_i=\frac{\det A_i}{\det A},$ $A_i$ は $A$ の第 $i$ 列を $\mathbf b$ に置き換えた行列。

各成分を行列式の比で明示できる美しい公式です。ただし計算量は大きく、実務の求解には掃き出し法（行基本変形）が使われます。クラメルの真価は「解が係数にどう依存するか」を式で見せる理論的な場面（感度解析や証明）にあります。

つまずきポイント

注意よくある誤解

$\det(A+B)\ne\det A+\det B$ 。 行列式は行列の和には分配しない（多重線形は「各列ごと」の話）。積には $\det(AB)=\det A\det B$ が成り立つ。
$\det A=0$ は「面積がつぶれる＝正則でない」。 逆行列なし・列が一次従属・ $0$ が固有値、と同値。
行の「定数倍を足す」は $\det$ 不変だが、行そのものの「定数倍」は $\det$ をその倍にする。混同しやすい。

この章のまとめ

行列式は「符号付きの面積・体積の拡大率」。 $\det A=0$ は空間が低次元につぶれる＝正則でない、と同値。
多重線形性・交代性・正規化で一意に定まり、置換の和（ライプニッツ）で書ける。 $\det(AB)=\det A\det B$ 、相似不変。
計算は余因子展開（理論・小行列）と行基本変形（大行列）。クラメルの公式は解を行列式の比で明示する。

行列式で「つぶれるか否か」が分かりました。次章は写像の“芯”——固有値と固有ベクトルに踏み込みます。

第6章 行列式