第7章固有値と固有ベクトル

変換の中で「向きが変わらない」特別な方向

第4章で見たように、行列は空間を伸ばし・回し・つぶします。ほとんどのベクトルは、変換されると向きが変わってしまう。ところが、変換しても向きだけは変わらず、長さが定数倍されるだけの特別な方向が存在することがあります。それが固有ベクトル、その定数倍率が固有値です。

下の装置の朱色の直線が、その固有方向です。行列を動かすと、多くのベクトルは向きを変えるのに、朱線の上のベクトルだけは朱線上に留まる（ $\lambda$ 倍されるだけ）のが見えます。固有方向は、変換に振り回されない「変換の背骨」。ここを見つければ、複雑な変換が「各背骨方向に、ただ定数倍しているだけ」という単純な姿に分解できます。

固有ベクトル＝変換で向きが変わらない方向、固有値＝その方向での引き伸ばし率。変換の骨組み。

定義と、求め方

定義固有値・固有ベクトル・固有空間

線形変換 $A$ に対し、 $\mathbf v\ne\mathbf 0$ が $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ を満たすとき、 $\lambda$ を固有値、 $\mathbf v$ を固有ベクトルという。固有値 $\lambda$ に属する固有ベクトル全体（と $\mathbf 0$ ）は部分空間で、固有空間 $E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$ という。

$A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ を移項すると $(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf 0$ 。これが $\mathbf v\ne\mathbf 0$ の解を持つ＝ $A-\lambda I$ がつぶれる＝前章の行列式で $\det(A-\lambda I)=0$ 。固有値探しが、行列式を $0$ にする $\lambda$ 探しに翻訳されました。

定義特性多項式

$\varphi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)$ を特性多項式という（ $n$ 次多項式）。その根が $A$ の固有値。各固有値 $\lambda$ について $E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$ を解けば固有ベクトルが求まる。

手順は明快：（1） $\det(A-\lambda I)=0$ を解いて固有値、（2）各固有値で連立方程式 $(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf 0$ を解いて固有ベクトル。特性多項式が相似不変（ $\det(P^{-1}(A-\lambda I)P)=\det(A-\lambda I)$ ）なので、 固有値は基底に依らない、写像そのものの量です。

2種類の重複度

固有値が重解になるとき、「代数的に何重か」と「実際に何次元の固有空間か」がズレることがあります。このズレが、次章の対角化できる/できないの分かれ目になります。

定義代数的重複度・幾何的重複度

固有値 $\lambda$ が特性多項式の根として何重かを代数的重複度、 $\dim E_\lambda$ （固有空間の次元＝独立な固有ベクトルの本数）を幾何的重複度という。つねに $1\le(\text{幾何的})\le(\text{代数的})$ 。

例重複度がズレる例

$A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$ の特性多項式は $(\lambda-2)^2$ で、固有値 $2$ の代数的重複度は $2$ 。だが $E_2=\ker(A-2I)=\ker\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ は $(1,0)$ 方向だけの $1$ 次元。幾何的重複度 $1<2$ 。固有ベクトルが足りない——このズレがジョルダン標準形（第9章）を生む。

トレース・行列式との関係

固有値は、行列から直接読める2つの量とつながっています。検算や見通しに便利です。

定理固有値の和と積

固有値を重複込みで $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ とすると $\operatorname{tr}A=\sum_i\lambda_i=\lambda_1+\cdots+\lambda_n,\qquad \det A=\prod_i\lambda_i=\lambda_1\cdots\lambda_n.$ （トレース $\operatorname{tr}A$ は対角成分の和。）

特性多項式 $\varphi_A(\lambda)=\prod(\lambda_i-\lambda)$ を展開し、係数を比較すれば出ます。 トレース＝固有値の和、行列式＝固有値の積。どちらも相似不変だったことと辻褄が合います（相似で固有値が変わらないのだから、その和も積も不変）。 $2\times2$ なら「和がトレース、積が行列式」で固有値が暗算できます。

つまずきポイント

注意よくある誤解

固有ベクトルに $\mathbf 0$ は含めない。 $A\mathbf 0=\lambda\mathbf 0$ は常に成り立つので、 $\mathbf 0$ を許すと無意味。固有空間には $\mathbf 0$ を含めるが、固有「ベクトル」は非ゼロ。
実行列でも固有値は複素数になりうる。 回転行列は実の固有方向を持たない（装置で回転させると朱線が消える＝複素固有値）。複素数まで許すと $n$ 個そろう。
幾何的重複度 $\le$ 代数的重複度。等号が崩れると対角化できない（次章）。

この章のまとめ

固有ベクトルは「変換で向きの変わらない方向」、固有値はその引き伸ばし率。固有空間 $E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$ 。
固有値は特性多項式 $\det(A-\lambda I)=0$ の根（相似不変＝写像そのものの量）。固有ベクトルは連立方程式で求める。
代数的重複度 $\ge$ 幾何的重複度。トレース＝固有値の和、行列式＝固有値の積。重複度のズレが次章の鍵。

次章は、固有ベクトルを基底にとって行列を対角化し、変換を最も簡単な姿にします。

第7章 固有値と固有ベクトル