第8章対角化

いちばん簡単な基底で、変換の正体を見る

第4章で「表現行列は基底の選び方で変わる」「だから最も簡単に見える基底を探したい」と予告しました。第7章で、その最良の候補が見つかっています——固有ベクトルです。

固有ベクトルを基底にとると、各基底方向で変換はただの $\lambda$ 倍。混ざり合いが消え、表現行列は対角成分に固有値が並ぶだけの対角行列になります。対角行列は最強に扱いやすい： $k$ 乗も指数関数も、対角成分ごとに計算するだけ。複雑な変換を「各固有方向で独立に伸縮しているだけ」という透明な姿に還元する——これが対角化です。

固有ベクトルを基底にとれば行列は対角化される。変換が「軸ごとの単純な伸縮」に分解される。

対角化の定義と条件

定義対角化可能

正則行列 $P$ で $P^{-1}AP=D$ （ $D$ は対角行列）にできるとき、 $A$ は対角化可能という。このとき $P$ の各列は $A$ の固有ベクトル、 $D$ の対角成分は対応する固有値。

$P^{-1}AP=D$ は前章までの相似変換そのもの。 $P$ の列に固有ベクトルを並べれば $AP=PD$ 、つまり $A(\text{固有ベクトル})=\lambda(\text{固有ベクトル})$ が列ごとに成り立つ、というだけです。問題は「そんな $P$ が組めるか」＝固有ベクトルだけで基底が作れるか。

定理対角化可能条件

$n\times n$ 行列 $A$ について、次は同値：

$A$ は対角化可能。
$A$ の一次独立な固有ベクトルが $n$ 本とれる（固有ベクトルで基底が組める）。
すべての固有値で幾何的重複度＝代数的重複度。特に、固有値がすべて相異なれば対角化可能（十分条件）。

前章の「重複度のズレ」がここで効きます。ズレが無ければ各固有空間から必要な本数の固有ベクトルが取れて基底が完成し、対角化できる。ズレがあると固有ベクトルが足りず、対角化は失敗します（その場合が次章のジョルダン標準形）。異なる固有値の固有ベクトルは自動的に独立なので、固有値が全部違えば無条件で対角化できる、というのが実務でいちばん使う判定です。

命題対角化の御利益

$A=PDP^{-1}$ なら $A^k=PD^kP^{-1}$ 。 $D^k$ は対角成分を $k$ 乗するだけ。同様に $e^{A}=Pe^{D}P^{-1}$ で、行列の指数関数（→微分方程式の連立線形系）も即座に計算できる。

最小多項式とケーリー–ハミルトン

対角化できるかを、固有ベクトルを求めずに多項式で判定する道具があります。

定理ケーリー–ハミルトンの定理

どんな正方行列も自身の特性多項式を満たす： $\varphi_A(A)=O$ 。

「行列を自分の特性方程式に代入すると零行列になる」。 $\lambda$ に $A$ を代入してよい、という一見あやしい主張ですが、対角化可能な場合は各固有値で $\varphi_A(\lambda_i)=0$ だから $\varphi_A(D)=O$ 、相似で $\varphi_A(A)=O$ 。一般でも成り立ちます。応用として、 $A^n$ 以上の高い冪や逆行列 $A^{-1}$ を、低次の多項式（ $I,A,\dots,A^{n-1}$ ）で書き直せます。

定義最小多項式と対角化判定

$m_A(A)=O$ となる最低次のモニック多項式 $m_A$ を最小多項式という。 $m_A$ は $\varphi_A$ を割り切る。 $A$ が対角化可能 $\iff m_A$ が重根を持たない（相異なる一次式の積に分解）。

最小多項式が「 $\lambda-\lambda_i$ たちの積（重複なし）」なら対角化可能。重根（ $(\lambda-\lambda_i)^2$ など）を含むと対角化できず、その冪の高さがジョルダン細胞の大きさ（第9章）を教えてくれます。

スペクトル分解と同時対角化

対角化を「固有空間への射影の重ね合わせ」として書き直すと、見通しがよくなります。

定理スペクトル分解

$A$ が対角化可能で固有値 $\lambda_1,\dots,\lambda_r$ （相異なる）を持つとき、各固有空間への射影 $P_i$ を用いて $A=\lambda_1P_1+\cdots+\lambda_rP_r,\qquad P_iP_j=\delta_{ij}P_i,\ \sum_iP_i=I.$

「 $A$ は、各固有空間で $\lambda_i$ 倍する射影の足し合わせ」。空間が固有空間の直和（第5章）に分かれ、各部品で単純にスカラー倍している、という構造がそのまま式になっています。

定理同時対角化

可換な（ $AB=BA$ ）対角化可能行列たちは、共通の基底で同時に対角化できる。

「交換する行列は、固有ベクトルを共有できる」。可換性が「同じ軸を持てる」ことに対応する—— 量子力学で「同時に測れる観測量は交換する」という話の数学的な芯がこれです。

つまずきポイント

注意よくある誤解

対角化できない行列がある。 固有ベクトルが足りないとき（幾何的重複度 < 代数的重複度）。すべてが対角化できるわけではない。
固有値が重複していても対角化できることはある。 例：単位行列 $I$ 。重複＝対角化不能ではなく、重複時に幾何的重複度が落ちるかどうかが問題。
ケーリー–ハミルトンは「 $\varphi_A(A)=O$ 」であって「 $\varphi_A(\lambda)$ にスカラー $\lambda$ を入れる」話ではない。行列を代入する。

この章のまとめ

固有ベクトルを基底にとると $P^{-1}AP=D$ （対角）。冪や指数関数が対角成分ごとの計算に化ける。
対角化可能 $\iff$ 固有ベクトルで基底が組める $\iff$ 全固有値で幾何的重複度＝代数的重複度。最小多項式が重根を持たないこととも同値。固有値が全部相異なれば自動的に可能。
スペクトル分解は対角化を射影の和で表したもの。可換な行列は同時対角化できる。

対角化できない場合はどうするか。次章は、その次善の標準形——ジョルダン標準形です。

第8章 対角化