⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第1章 多様体とは

地球儀に「まっすぐな座標」は貼れない。それでも微積分をしたい

地球は丸いのに、地図帳（アトラス）は平らな紙の集まりで世界を覆っています。一枚では歪むけれど、各地域を 平らな地図で表し、重なりで貼り合わせれば、球全体を扱える。「局所的には平らな Rn\mathbb R^n、でも全体は曲がっている」 ——この空間が多様体です。

なぜ必要か。微積分は Rn\mathbb R^n の上でしか作っていませんでした。でも物理の舞台（時空、相空間）や 幾何の対象（曲面、リー群）、力学系の状態空間は曲がっている。そこで微積分を「座標に依らない形」に 書き直し、曲がった空間の上へ移植する必要があります。その第一歩が、曲がった空間を「平らな地図（チャート）の 貼り合わせ」として厳密に定義すること。この章では、チャート・アトラス・可微分構造を定め、多様体の上で 「なめらか」が意味をもつようにします。集合と位相で作った位相空間に、微分の構造を載せるのです。

多様体 ＝ 局所的に Rn\mathbb R^n（チャート）で、重なりがなめらかに貼り合う（アトラス）空間。曲がった空間で微積分をやり直す舞台。

チャートとアトラス

定義 チャート・座標

位相空間 MM の開集合 UU から Rn\mathbb R^n の開集合への同相写像 φ:U→φ(U)⊆Rn\varphi:U\to\varphi(U)\subseteq\mathbb R^n をチャート（座標近傍）という。 φ(p)=(x1(p),…,xn(p))\varphi(p)=(x^1(p),\dots,x^n(p)) が点 pp の局所座標。nn を多様体の次元という。

チャートは「MM の一部 UU を、平らな Rn\mathbb R^n の地図に写す」座標系。ただし一枚では全体を覆えないことが普通です （地球を一枚の平面地図で歪みなく描けないように）。だから複数のチャートで覆い、重なりでの「つじつま」を要求します。

定義 アトラス・両立性

チャートの族 {(Uα,φα)}\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\} が MM を覆う（⋃Uα=M\bigcup U_\alpha=M）ときアトラスという。2つのチャートの重なり Uα∩UβU_\alpha\cap U_\beta 上で、座標変換（推移写像） φβ∘φα−1:φα(Uα∩Uβ)→φβ(Uα∩Uβ)\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}:\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\to\varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta) が C∞C^\infty 級（なめらか）であるとき、2チャートは両立するという。すべてのチャートが両立するアトラスを 可微分アトラスという。

要は「地図と地図の重なった部分で、座標の読み替えがなめらか」。この推移写像は Rn\mathbb R^n の開集合間の写像なので、 微積分の意味で C∞C^\infty かどうかを問える——曲がった MM の話を、平らな Rn\mathbb R^n の話に翻訳しているのが ミソです。これが「MM 上のなめらかさ」の定義を可能にします。

定義 可微分多様体

極大な可微分アトラス（可微分構造）を備えた（ハウスドルフで第二可算な）位相空間を可微分多様体 （C∞C^\infty 多様体）という。

立体射影でチャートを体感する

球面 S2S^2 は 11 枚のチャートでは覆えません（どこかに“地図の破れ目”が要る）。でも 22 枚で覆えます——北極からの 立体射影と南極からの立体射影。下で体感してください。点 PP を動かすと、北極 NN から平らな平面への射影 （座標）が変わります。PP が北極に近づくと座標が ±∞\pm\infty へ飛ぶ——11 枚のチャートは北極を覆えない。 だから北極側のもう一枚と合わせて、球面全体を覆うアトラスを作ります。

北極を除いた S2∖{N}S^2\setminus\{N\} が平面 R2\mathbb R^2 と同一視でき、南極を除いた S2∖{S}S^2\setminus\{S\} も同様。22 枚の重なり （両極を除いた球面）での座標変換は z↦1/zz\mapsto1/z 型のなめらかな写像で、両立します。22 チャートで S2S^2 が 可微分多様体になるのです。

例 多様体の例

  • Rn\mathbb R^n：11 枚のチャート（恒等写像）。最も単純な多様体。
  • 球面 SnS^n：立体射影の 22 チャート。11 次元 S1S^1（円周）、22 次元 S2S^2。
  • トーラス Tn=S1×⋯×S1T^n=S^1\times\cdots\times S^1：nn 次元、可換。T2T^2 はドーナツ面。
  • 実射影空間 RPn\mathbb{RP}^n：直線の全体。RP1≅S1\mathbb{RP}^1\cong S^1。
  • 行列群 GLn,SLn,O(n),U(n)GL_n,SL_n,O(n),U(n)：連続的対称性の多様体（リー群）。
  • 配置空間・相空間：振り子の状態は円 S1S^1、二重振り子は T2T^2。

なめらかな写像と微分同相

多様体の上で「なめらかな写像」を定めます。チャートで Rn\mathbb R^n に降ろして、微積分の言葉を使います。

定義 なめらかな写像・微分同相

多様体間の写像 f:M→Nf:M\to N がなめらか（C∞C^\infty）とは、チャートで表した ψ∘f∘φ−1\psi\circ f\circ\varphi^{-1}（Rm→Rn\mathbb R^m\to\mathbb R^n）が C∞C^\infty であること（チャートの取り方によらない——両立性のおかげ）。なめらかな全単射で逆もなめらかなものを 微分同相といい、微分同相な多様体は「同じ」とみなす。

「MM の写像を、チャートで Rn\mathbb R^n に降ろして微積分で判定する」。両立性（推移写像がなめらか）のおかげで、 チャートの取り方によらず「なめらか」が定まります。微分同相は、集合と位相の同相（連続の同型）を 微分の世界へ強めたもの——多様体論での「同じ形」です。

注意 エキゾチックな微分構造

同じ位相空間に、異なる（微分同相でない）可微分構造が入ることがある。ミルナーは S7S^7 に標準と異なる微分構造 （エキゾチック球面）を発見した。さらに衝撃的に、R4\mathbb R^4 だけは非可算個の異なる微分構造をもつ （ドナルドソン・フリードマン、44 次元の特異性）。位相的には同じでも微分的には違う——位相と微分の間に深い溝がある。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 多様体は「外の空間」に埋め込まれていなくてよい。 チャートとアトラスだけで内在的に定義される（埋め込みは次章の別の話）。抽象的な多様体が主役。
  • 両立性（推移写像が C∞C^\infty）が微分構造の核心。 各チャートで Rn\mathbb R^n に降ろし、重なりでなめらかに貼る。これで「MM 上のなめらかさ」が座標に依らず定まる。
  • 11 枚のチャートで覆えるとは限らない。 球面は 22 枚要る。コンパクトな多様体は 11 枚では覆えない（Rn\mathbb R^n に同相な開集合で覆えない）。
  • 微分同相 ≠ 同相。 位相的に同じ（同相）でも微分構造が違うことがある（エキゾチック球面、R4\mathbb R^4）。

この章のまとめ

  • 多様体は局所的に Rn\mathbb R^n（チャート）で、重なりで座標変換がなめらか（両立性）に貼り合う空間。極大アトラス＝可微分構造。曲がった空間で微積分をやり直す舞台。
  • 球面 S2S^2 は立体射影の**22 チャート**で覆える（11 枚では北極を覆えない）。Sn,Tn,RPnS^n,T^n,\mathbb{RP}^n、行列群が例。
  • なめらかな写像はチャートで Rn\mathbb R^n に降ろして判定。微分同相が多様体の「同じ形」。位相が同じでも微分構造が違うことがある（エキゾチック球面）。

次章は、多様体の中に多様体を見る——はめ込み・埋め込み・沈め込みと正則値定理を扱います。