⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第2章 部分多様体と正則値定理

「方程式の解集合」は、なぜ多様体になるのか

球面 S2S^2 は x2+y2+z2=1x^2+y^2+z^2=1 の解集合、円周は x2+y2=1x^2+y^2=1 の解集合です。SLnSL_n（行列式 11 の行列）も 「det⁡=1\det=1」という方程式の解集合。方程式で切り出された図形が、なめらかな多様体になる——これは偶然でしょうか？

答えは正則値定理が与えます。「方程式 f=cf=c の解集合は、cc が正則値（ff の微分がそこで“つぶれない”値）なら、 なめらかな部分多様体になる」。しかも次元は「変数の数 − 方程式の数」。この定理のおかげで、方程式で定義された 無数の空間が、いちいち手でチャートを作らなくても多様体だと分かります。前提として、写像の「階数」と、 はめ込み・埋め込み・沈め込みという写像の三分類を整えます。これらは微積分の陰関数定理・逆関数定理の 多様体版で、線形代数の階数が幾何を支配します。

正則値定理：cc が正則値なら f−1(c)f^{-1}(c) はなめらかな部分多様体（次元 ＝ 定義域次元 − 値域次元）。方程式の解集合が多様体になる仕組み。

階数とはめ込み・沈め込み

なめらかな写像 f:M→Nf:M\to N の各点での「線形近似」が、微分（ヤコビ行列）です。その階数で写像を分類します。

定義 微分の階数と3分類

f:Mm→Nnf:M^m\to N^n の点 pp での微分 dfp:TpM→Tf(p)Ndf_p:T_pM\to T_{f(p)}N（次章の接空間、チャートではヤコビ行列）の 階数を ff の pp での階数という。

  • はめ込み（immersion）：dfpdf_p が単射（階数 =m=m、m≤nm\le n）。局所的に「つぶれずに入れる」。
  • 沈め込み（submersion）：dfpdf_p が全射（階数 =n=n、m≥nm\ge n）。局所的に「押しつぶす」。
  • 埋め込み（embedding）：はめ込みで、かつ像への同相写像（自己交差せず、位相も一致）。

はめ込みは「低次元を高次元へ、つぶさずに差し込む」（曲線を平面に描く）。ただし自己交差はありうる（8の字の はめ込み）。埋め込みはそれを禁じ、像が本当の部分多様体になります。沈め込みは「高次元を低次元へ、なめらかに 射影する」。これらは局所的に標準形をもちます。

定理 階数定理（局所標準形）

ff が pp の近傍で一定階数 rr なら、適当なチャートで ff は線形写像 (x1,…,xm)↦(x1,…,xr,0,…,0)(x_1,\dots,x_m)\mapsto(x_1,\dots,x_r,0,\dots,0) の形になる。 特にはめ込みは局所的に包含 Rm↪Rn\mathbb R^m\hookrightarrow\mathbb R^n、沈め込みは局所的に射影 Rm↠Rn\mathbb R^m\twoheadrightarrow\mathbb R^n。

これは微積分の逆関数定理の一般化です。「なめらかな写像は、階数が一定なら局所的に線形写像 （線形代数）と同じ形」——微分（線形近似）が、非線形写像の局所的な姿を完全に決める。沈め込みの 標準形が、正則値定理を生みます。

正則値定理

定義 正則値・臨界値

c∈Nc\in N が f:M→Nf:M\to N の正則値とは、f−1(c)f^{-1}(c) のすべての点で ff が沈め込み（dfdf が全射）であること。 そうでない値（ある逆像点で dfdf が全射でない）を臨界値という。f−1(c)=∅f^{-1}(c)=\emptyset なら cc は自明に正則値。

定理 正則値定理

cc が f:Mm→Nnf:M^m\to N^n の正則値なら、f−1(c)f^{-1}(c) は MM のなめらかな部分多様体で、次元は m−nm-n。

証明

p∈f−1(c)p\in f^{-1}(c) で ff は沈め込みゆえ、階数定理より適当なチャートで f(x1,…,xm)=(x1,…,xn)f(x_1,\dots,x_m)=(x_1,\dots,x_n)（射影）。この座標で f−1(c)={x1=c1,…,xn=cn}f^{-1}(c)=\{x_1=c_1,\dots,x_n=c_n\} は、残りの座標 (xn+1,…,xm)(x_{n+1},\dots,x_m) で径数づけられる Rm−n\mathbb R^{m-n} の開集合＝ (m−n)(m-n) 次元のチャート。各点でこれが成り立つので f−1(c)f^{-1}(c) は部分多様体。∎

証明は沈め込みの局所標準形（射影）一発です。「f=cf=c を課すと、nn 個の座標が固定され、残り m−nm-n 個が自由＝ (m−n)(m-n) 次元」。微積分の陰関数定理（Fy≠0F_y\ne0 なら解ける）の多様体版で、「方程式 == 値」の解集合が 自動的に多様体になる。実例で威力を見ます。

例 正則値定理で多様体を作る

  • 球面：f(x)=∣x∣2:Rn+1→Rf(x)=|x|^2:\mathbb R^{n+1}\to\mathbb R、dfx=2x⊤df_x=2x^\top は x≠0x\ne0 で全射。11 は正則値（f−1(1)f^{-1}(1) 上 x≠0x\ne0）ゆえ Sn=f−1(1)S^n=f^{-1}(1) は nn 次元多様体。
  • 特殊線形群 SLnSL_n：det⁡:GLn→R×\det:GL_n\to\mathbb R^\times は沈め込み、11 は正則値。SLn=det⁡−1(1)SL_n=\det^{-1}(1) は次元 n2−1n^2-1 の多様体（リー群）。
  • 直交群 O(n)O(n)：f(A)=A⊤A:Mn→Symnf(A)=A^\top A:M_n\to\mathrm{Sym}_n（対称行列）、II は正則値。O(n)=f−1(I)O(n)=f^{-1}(I) は次元 (n2)\binom n2 の多様体。

「行列式 =1=1」「A⊤A=IA^\top A=I」といった方程式で定義される行列群が、自動的になめらかな多様体（リー群）になる—— 正則値定理のおかげです。手でチャートを作る必要はありません。

ホイットニーの埋め込み定理

抽象的に定義された多様体は、実は必ず RN\mathbb R^N の中に埋め込めます。

定理 ホイットニーの埋め込み定理

mm 次元の（第二可算な）多様体は、R2m+1\mathbb R^{2m+1}（実は R2m\mathbb R^{2m}）に埋め込める。すなわち、抽象的な多様体はすべて ユークリッド空間の部分多様体として実現できる。

「チャートで抽象的に定義した多様体も、結局は RN\mathbb R^N の中の曲がった図形」。だから「多様体 ＝ RN\mathbb R^N の部分多様体」と 思っても本質的に損はありません（抽象的定義は、外の空間への依存を消せるのが利点）。次元 2m2m で埋め込めるのは 微分位相幾何の基本定理です。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • はめ込み ≠ 埋め込み。 はめ込みは局所的（自己交差可、8の字）、埋め込みは大域的に単射＋像への同相。埋め込みの像が真の部分多様体。
  • 正則値定理は「正則値」が前提。 f−1(c)f^{-1}(c) の全点で dfdf が全射。臨界値だと解集合が特異点をもちうる（xy=0xy=0 は原点で交差）。
  • 次元は「変数 − 方程式」。 f:Mm→Nnf:M^m\to N^n の正則値の逆像は m−nm-n 次元。SnS^n は (n+1)−1=n(n+1)-1=n 次元。
  • 抽象多様体も RN\mathbb R^N に埋め込める（ホイットニー）。だが「外の空間なしで内在的に定義できる」ことが多様体論の強み。

この章のまとめ

  • 写像 f:M→Nf:M\to N を微分の階数で分類：はめ込み（dfdf 単射）・沈め込み（dfdf 全射）・埋め込み（はめ込み＋像への同相）。階数定理で局所的に線形写像の標準形。
  • 正則値定理：正則値 cc の逆像 f−1(c)f^{-1}(c) は次元 m−nm-n のなめらかな部分多様体（沈め込みの局所標準形から、陰関数定理の多様体版）。Sn,SLn,O(n)S^n,SL_n,O(n) が実例。
  • ホイットニーの埋め込み定理：mm 次元多様体は R2m\mathbb R^{2m} に埋め込める。抽象多様体も RN\mathbb R^N の部分多様体。

次章は、正則値定理を本当に使えるものにする——サードの定理（ほとんどの値は正則値）を扱います。