第10章 Lᵖ空間と三大不等式

関数を「点」とみなす

線形代数ではベクトルに長さ（ノルム）を入れ、内積で角度を測りました。関数に対しても同じことをしたい——関数一つを無限次元空間の一点とみなし、その「長さ」や「距離」を測る。そうすれば「関数列が収束する」「関数を近似する」を、幾何の言葉（点が近づく）で扱えます。これは関数解析への入り口であり、測度論が解析全体の土台になる決定的な理由です。

長さの測り方は一通りではありません。 $p$ 乗して積分して $p$ 乗根をとる、という族 $L^p$ を導入します。

定義 Lᵖ空間とノルム

測度空間 $(X,\mathcal{F},\mu)$ と $1\le p<\infty$ に対し、 $\int|f|^p\,d\mu<\infty$ をみたす可測関数 $f$ の全体を $L^p$ 空間といい、

\|f\|_p=\Big(\int_X|f|^p\,d\mu\Big)^{1/p}

を $L^p$ ノルムという。 $p=\infty$ では $\|f\|_\infty=\operatorname*{ess\,sup}|f|$ （a.e. での上界の下限）とし、これが有限な $f$ の全体を $L^\infty$ とする。

$p=1$ は前章までの可積分関数、 $p=2$ は「二乗可積分」で内積が入る特別な空間（次章）、 $p=\infty$ は本質的に有界な関数。 $\|f\|_p$ が本当に「長さ」の資格（三角不等式）をもつことが、この章の目標です。

注意 a.e. で等しい関数は同一視する

$\|f\|_p=0\iff f=0$ a.e.（第6章）。ノルムが $0$ なら関数はゼロであってほしいので、 $L^p$ ではa.e. 等しい関数を同じ点とみなす（商をとる）。ディリクレ関数とゼロ関数は $L^p$ では同一点。これで $\|\cdot\|_p$ が真のノルムになる。

共役指数とヤングの不等式

不等式の主役は、 $p$ と対になる指数です。

定義共役指数

$1<p<\infty$ に対し $\dfrac1p+\dfrac1q=1$ をみたす $q$ を $p$ の共役指数という（ $p=1$ なら $q=\infty$ 、 $p=2$ なら $q=2$ で自己共役）。

定理ヤングの不等式

$a,b\ge0$ 、共役指数 $p,q$ に対し

ab\le\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}.

証明

$\log$ は凹関数だから、 $\frac1p+\frac1q=1$ を重みとして $\log(ab)=\frac1p\log a^p+\frac1q\log b^q\le\log\big(\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\big)$ 。 $\exp$ をとって結論（ $a,b>0$ の場合。 $0$ を含む場合は明らか）。∎

たった一つの凸性（ $\log$ の凹性）から、次のヘルダー・ミンコフスキーが芋づる式に出ます。不等式は凸性から、がこの分野の合言葉です。

ヘルダーの不等式：積の積分を分けて抑える

定理ヘルダーの不等式

共役指数 $p,q$ と可測関数 $f,g$ に対し

\int_X|fg|\,d\mu\ \le\ \|f\|_p\,\|g\|_q.

とくに $\mu(X)<\infty$ なら $L^p\subseteq L^r\ (r\le p)$ の包含も従う。

証明

$\|f\|_p=0$ か $\|g\|_q=0$ なら $fg=0$ a.e. で自明。ともに正のときは、正規化 $F=|f|/\|f\|_p,\ G=|g|/\|g\|_q$ （ $\|F\|_p=\|G\|_q=1$ ）にヤングの不等式を各点で当てる： $FG\le\frac{F^p}{p}+\frac{G^q}{q}$ 。積分すると $\int FG\le\frac1p\|F\|_p^p+\frac1q\|G\|_q^q=\frac1p+\frac1q=1$ 。両辺に $\|f\|_p\|g\|_q$ を戻して結論。∎

$p=q=2$ の場合は $\int|fg|\le\|f\|_2\|g\|_2$ 、すなわちコーシー–シュワルツの不等式。ヘルダーはその一般化です。「積分の中の積を、二つのノルムの積で抑える」——関数を掛け合わせたときのサイズ管理の基本道具です。

ミンコフスキーの不等式：Lᵖ の三角不等式

これで $\|\cdot\|_p$ が三角不等式をみたす、つまり本物の「長さ」であることが言えます。

定理ミンコフスキーの不等式

$1\le p<\infty$ 、 $f,g\in L^p$ に対し

\|f+g\|_p\ \le\ \|f\|_p+\|g\|_p.

ゆえに $L^p$ はノルム空間（ $d(f,g)=\|f-g\|_p$ が距離）。

証明

$p=1$ は $|f+g|\le|f|+|g|$ を積分するだけ。 $p>1$ のとき、 $|f+g|^p=|f+g|\,|f+g|^{p-1}\le(|f|+|g|)|f+g|^{p-1}$ を積分し、右の二項それぞれにヘルダー（指数 $p$ と $q=\frac{p}{p-1}$ ）を当てる：

\|f+g\|_p^p\le(\|f\|_p+\|g\|_p)\,\big\||f+g|^{p-1}\big\|_q=(\|f\|_p+\|g\|_p)\,\|f+g\|_p^{p-1}.

$\|f+g\|_p^{p-1}$ で割って結論（ $\|f+g\|_p=0$ なら自明、有限性は $|f+g|^p\le2^p(|f|^p+|g|^p)$ から）。∎

ヤング → ヘルダー → ミンコフスキー、という一本の階段に注目してください。すべての源は $\log$ （や $t^p$ ）の凸性一つ。凸性が積分を通じて関数空間の幾何（三角不等式）に翻訳される——これが $L^p$ 理論の背骨です。

イェンセンの不等式：凸関数は積分と交換すると得をする

最後に、凸性そのものを積分に持ち込む不等式。確率論（確率論）で特に重宝します。

定理イェンセンの不等式

$\mu$ を確率測度（ $\mu(X)=1$ ）、 $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を凸関数、 $f\in L^1$ とする。すると

\varphi\Big(\int_X f\,d\mu\Big)\ \le\ \int_X\varphi(f)\,d\mu.

「平均を凸関数に通す」より「凸関数に通してから平均する」方が大きい。

証明

$m=\int f\,d\mu$ とおく。凸関数は各点で支持直線をもつ：ある $k$ で $\varphi(t)\ge\varphi(m)+k(t-m)$ 。 $t=f(x)$ を代入して積分すると、 $\mu(X)=1,\ \int(f-m)\,d\mu=0$ より右辺の一次項が消え $\int\varphi(f)\,d\mu\ge\varphi(m)$ 。∎

「支持直線で下から挟む」は凸関数の常套手段。 $\varphi(t)=t^2$ なら $(\int f)^2\le\int f^2$ （分散が非負であること）、 $\varphi=\exp$ なら相加相乗平均の積分版が出ます。凸性ひとつで多くの不等式が統一的に説明できる、その象徴です。

つまずきポイント

注意よくある誤解

$L^p$ の元は「関数」ではなく「a.e. 同値類」。 ある一点での値を問うのは無意味（測度 $0$ で変えられる）。だから「 $L^p$ の関数の値 $f(x_0)$ 」という言い方は本来ナンセンス。
ヘルダーの $p,q$ は共役（ $\frac1p+\frac1q=1$ ）でなければならない。 勝手な指数では成り立たない。 $p=2$ の自己共役がコーシー–シュワルツ。
包含 $L^p\subseteq L^r$ は有限測度でのみ（ $r\le p$ ）。 $\mathbb{R}$ 全体（無限測度）では成り立たない（ $1/x$ は $L^2(1,\infty)$ だが $L^1$ でない、等）。測度空間の大きさで向きが変わる。
イェンセンは確率測度（総質量 1）が前提。 一般の測度では平均の意味が崩れる。凸の向き（ $\le$ ）も混同しやすい。

この章のまとめ

$L^p$ 空間：関数を「点」とみなし、 $\|f\|_p=(\int|f|^p)^{1/p}$ で長さを測る。a.e. 等しい関数は同一視。 $p=2$ は内積つき、 $p=\infty$ は本質的有界。
三大不等式はすべて凸性が源：ヤング（ $\log$ の凹性）→ヘルダー（ $\int|fg|\le\|f\|_p\|g\|_q$ 、 $p=2$ でコーシー–シュワルツ）→ミンコフスキー（三角不等式、 $L^p$ がノルム空間）。
イェンセン：確率測度で $\varphi(\int f)\le\int\varphi(f)$ 。支持直線で証明。確率論の要。
ノルムは入った。だが解析で本当に欲しいのは完備性（コーシー列が収束する）。次章でそれ——リース–フィッシャーの定理——を証明し、 $L^2$ がヒルベルト空間になることを見ます。

次章では、 $L^p$ が完備なノルム空間（バナッハ空間）であること、とくに $L^2$ が内積をもつヒルベルト空間になることを示します。