第9章積測度とフビニ–トネリの定理

「たてよこ、どっちから足しても同じ」は本当か

平面上の関数 $f(x,y)$ の積分を、私たちは無意識にこう計算します——「まず $x$ で積分して、それを $y$ で積分」。つまり二重積分を逐次積分に分け、しかも積分の順序を平気で入れ替える：

\iint f(x,y)\,dx\,dy\ \overset{?}{=}\ \int\!\Big(\int f\,dx\Big)dy\ \overset{?}{=}\ \int\!\Big(\int f\,dy\Big)dx.

学部の計算では当たり前に使いますが、本当にいつでも許されるのか。実は許されないことがある——符号が絡む無限和では、足す順序で答えが変わるのと同じ現象が起きます。この章では、積分の“土俵”である積測度を作り、順序交換が保証される条件をきっちり見極めます。それがフビニ–トネリの定理です。

二重積分＝逐次積分＝順序交換、は無条件では成り立たない。保証するのが積測度上のフビニ–トネリ。

まず土俵を作る：積測度

$(X,\mathcal{F},\mu)$ と $(Y,\mathcal{G},\nu)$ の二つの測度空間から、直積 $X\times Y$ 上の測度を作ります。出発点は「長方形の面積＝たて×よこ」という素朴な要求です。

定義積σ-加法族と積測度

$X\times Y$ 上で、可測長方形 $A\times B$ （ $A\in\mathcal{F},B\in\mathcal{G}$ ）が生成するσ-加法族を積σ-加法族 $\mathcal{F}\otimes\mathcal{G}$ という。 $\mu,\nu$ が σ-有限（可算個の有限測度集合で覆える）のとき、

(\mu\times\nu)(A\times B)=\mu(A)\,\nu(B)

をみたす測度 $\mu\times\nu$ が $\mathcal{F}\otimes\mathcal{G}$ 上に一意に存在する。これを積測度という。

存在は、長方形の面積を外測度に育ててカラテオドリ（第3章）にかける、あるいは後述の断面積分で構成します。一意性は、σ-有限性のもとで「長方形で決まる測度は一つ」という拡張の一意性定理（ディンキン系）から来ます。

注意 σ-有限がなぜ要るか

σ-有限（ $X=\bigcup X_n,\ \mu(X_n)<\infty$ ）は、 $\infty\times$ （何か）の曖昧さと一意性の破れを防ぐための命綱。ルベーグ測度は $\mathbb{R}=\bigcup[-n,n]$ なのでσ-有限。実用上ほぼ常に満たされるが、外すと反例（下の“悪い例”）が生きてくる。

断面という考え方

順序交換の主役は断面です。集合や関数を、片方の変数で「輪切り」にする操作。

定義断面

$E\subseteq X\times Y$ と $x\in X$ に対し、 $x$ -断面を $E_x=\{y\in Y:(x,y)\in E\}$ と定める。関数 $f(x,y)$ の $x$ -断面は $y\mapsto f(x,y)$ 。（ $y$ -断面も同様。）

積測度の心臓は「 $E$ の面積＝各断面の長さを積分したもの」というカヴァリエリの原理です：

(\mu\times\nu)(E)=\int_X \nu(E_x)\,d\mu(x)=\int_Y \mu(E^y)\,d\nu(y).

「立体の体積は、断面積を積み上げたもの」の測度論版。これが関数へ持ち上がると、逐次積分の定理になります。

トネリの定理：非負なら無条件で順序交換

まず非負関数。このときは何も気にせず順序を交換できます。値が正だけなら「足す順で変わる」危険がないからです（非負項級数はどう足しても同じ）。

定理トネリの定理

$\mu,\nu$ を σ-有限、 $f:X\times Y\to[0,\infty]$ を $\mathcal{F}\otimes\mathcal{G}$ -可測とする。すると $y\mapsto\int_X f\,d\mu$ と $x\mapsto\int_Y f\,d\nu$ は可測で、

\int_{X\times Y}f\,d(\mu\times\nu)=\int_Y\!\Big(\int_X f\,d\mu\Big)d\nu=\int_X\!\Big(\int_Y f\,d\nu\Big)d\nu.

（値が $\infty$ でも等式は成立。）

証明

定義関数 $f=\mathbf{1}_E$ のときはカヴァリエリの原理そのもの（これを長方形→有限和→単調族定理で全可測集合へ）。単関数へは線形性で、一般の非負 $f$ へは単関数の増大近似 $s_n\uparrow f$ （第5章）と各積分での単調収束定理 （第7章）で持ち上げる。 $\int f=\lim\int s_n$ が三通りの積分すべてで同時に成り立ち、等式が保たれる。∎

トネリの御利益は「まず値の有限性を気にせず順序を交換してよい」こと。実務では、可積分かどうか分からない $f$ に対し、まず $|f|$ （非負）にトネリを当てて $\iint|f|<\infty$ を確かめる——この一手が次のフビニの前提を作ります。

フビニの定理：可積分なら順序交換

符号のある関数では、まず**可積分（ $\iint|f|<\infty$ ）**を保証してから交換します。これがフビニ。

定理フビニの定理

$\mu,\nu$ を σ-有限、 $f\in L^1(\mu\times\nu)$ （つまり $\int_{X\times Y}|f|\,d(\mu\times\nu)<\infty$ ）とする。すると a.e. の $x$ で断面 $f(x,\cdot)\in L^1(\nu)$ 、 $x\mapsto\int f\,d\nu$ は $L^1(\mu)$ に属し、

\int_{X\times Y}f\,d(\mu\times\nu)=\int_X\!\Big(\int_Y f\,d\nu\Big)d\mu=\int_Y\!\Big(\int_X f\,d\mu\Big)d\nu.

証明

$f=f^+-f^-$ に分け、各非負部分にトネリを適用。 $\int|f|<\infty$ より $\int f^+,\int f^-$ の逐次積分がともに有限なので、a.e. の断面で $\int f^\pm\,d\nu<\infty$ 、引き算 $\int f\,d\nu=\int f^+d\nu-\int f^-d\nu$ が a.e. で意味をもつ。逐次積分の等式は非負部分ごとに成立し、線形性で $f$ 全体へ。∎

実務の型は決まっています：フビニを使う前に、トネリで $\iint|f|<\infty$ を確認する。これを飛ばすと足をすくわれます。次の反例がその戒めです。

注意順序交換が破れる反例

$[0,1]^2$ 上で $f(x,y)=\dfrac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$ を考えると、

\int_0^1\!\Big(\int_0^1 f\,dy\Big)dx=\frac\pi4,\qquad \int_0^1\!\Big(\int_0^1 f\,dx\Big)dy=-\frac\pi4.

順序で符号まで変わる！原因は $\iint|f|=\infty$ （原点付近で可積分でない）——フビニの前提が崩れている。「非負でも可積分でもない関数の順序交換は禁物」を叩き込む例。

つまずきポイント

注意よくある誤解

トネリ（非負）とフビニ（可積分）は別の定理。 非負なら値の有限性を気にせず交換できる（トネリ）。符号つきは先に可積分を確かめる（フビニ）。実務は「トネリで $\iint|f|<\infty$ → フビニ」の二段。
順序交換は無条件ではない。 反例のとおり、可積分でないと符号すら変わる。「積分できるから交換できる」ではなく「絶対値の積分が有限だから交換できる」。
σ-有限は外せない。 これを落とすと積測度の一意性・カヴァリエリが壊れ、反例が作れる。ルベーグ測度は満たすので普段は気にしなくてよいが、前提として意識する。
可測長方形が生成する $\mathcal{F}\otimes\mathcal{G}$ は、ルベーグ的完備化とはズレる。 $\mathbb{R}^2$ のルベーグ可測は $\mathcal{B}\otimes\mathcal{B}$ より真に広い。厳密には完備化を補って扱う。

この章のまとめ

二つのσ-有限測度から積測度 $\mu\times\nu$ （長方形の面積＝たて×よこ）を一意に構成。断面とカヴァリエリの原理（面積＝断面長の積分）が心臓。
トネリ：非負可測なら、値が無限でも無条件で二重積分＝逐次積分＝順序交換。
フビニ： $\iint|f|<\infty$ （可積分）なら順序交換できる。実務は「トネリで絶対値の有限性を確認 → フビニ」。
可積分でないと順序で符号すら変わる（ $\frac\pi4$ vs $-\frac\pi4$ ）。前提を飛ばさないこと。
次章からは、可積分関数を「点」とみなす関数空間 $L^p$ の世界へ。まずその幾何を支える三大不等式（ヘルダー・ミンコフスキー・イェンセン）を作ります。

次章では、 $p$ 乗可積分な関数の空間 $L^p$ を定義し、そのノルムの三角不等式（ミンコフスキー）を支えるヘルダーの不等式、そして凸性から来るイェンセンの不等式を導きます。

第9章 積測度とフビニ–トネリの定理