第2章 σ-加法族と測度

「大きさを測る」に、何を望むか

前章で「集合の大きさ（測度）を先に作る」と決めました。では、 $\mathbb{R}$ の部分集合 $A$ に長さ $\mu(A)\ge 0$ を割り当てる関数 $\mu$ に、私たちは何を望むでしょう。素朴な願いを並べてみます。

区間 $[a,b]$ の長さは $b-a$ 。
重ならない集合を合わせたら、長さは足し算： $\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)$ （ $A\cap B=\varnothing$ のとき）。
平行移動しても長さは変わらない： $\mu(A+t)=\mu(A)$ 。

ここで決定的な選択をします。二個の足し算（有限加法性）で満足するか、それとも可算無限個の足し算まで許すか。前章のディリクレ関数を思い出してください。「有理数全体の大きさは $0$ 」と言えたのは、有理数を $q_1,q_2,\dots$ と一列に並べ、一点ずつの大きさ $0$ を可算個足して $0$ にできたからです。極限を自在に扱う現代解析には、可算個の足し算——可算加法性——がどうしても要る。これが測度論の心臓部です。

望みは「区間で正しく・平行移動で不変・可算個の直和で足せる」大きさ。可算加法性が、極限を扱う力の源。

落とし穴：すべての集合は測れない

ところが欲張ると罰が当たります。「 $\mathbb{R}$ のあらゆる部分集合に、上の望みを全部みたす長さを割り当てる」 ——これは不可能です（第4章のヴィタリ集合で見ます）。どうしても測れない集合が現れる。

そこで方針を転換します。全部の集合を測るのを諦め、「測れる集合だけ」を集めた家族を用意する。 そして、その家族の上でだけ測度を定義する。この「測ってよい集合の集まり」に課すべき条件を、いま設計しましょう。自然に出てくる要求は三つです。

全体集合 $X$ は測れてほしい（大きさが定義できる基準）。
$A$ が測れるなら、その補集合 $A^c$ も測れてほしい（「 $A$ の外」も測れる）。
測れる集合を可算個合わせたものも測れてほしい（極限操作で閉じる）。

この三条件をみたす集合族をσ-加法族（完全加法族）と呼びます。「σ」は可算和で閉じることを表す記号です。

定義 σ-加法族

集合 $X$ の部分集合の族 $\mathcal{F}$ が次をみたすとき、 $\mathcal{F}$ を $X$ 上のσ-加法族という。

$X\in\mathcal{F}$ 。
$A\in\mathcal{F}\ \Rightarrow\ A^c\in\mathcal{F}$ （補集合で閉じる）。
$A_1,A_2,\dots\in\mathcal{F}\ \Rightarrow\ \bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{F}$ （可算和で閉じる）。

このとき $(X,\mathcal{F})$ を可測空間、 $\mathcal{F}$ の元を可測集合という。

三条件から、ド・モルガンの法則で可算共通部分 $\bigcap A_n=(\bigcup A_n^c)^c$ も入り、空集合 $\varnothing=X^c$ も入ります。差 $A\setminus B=A\cap B^c$ も測れる。つまり集合演算を可算回やっても、σ-加法族からはみ出しません。とても丈夫な家族です。

例極端な二つの例

最小： $\{\varnothing, X\}$ 。何も区別しない、いちばん粗いσ-加法族。
最大： $X$ の全部分集合の族 $2^X$ （べき集合）。いちばん細かい。有限集合ならこれで困らないが、 $\mathbb{R}$ では「大きすぎて」望む測度が乗らない（第4章）。だから中間の“ちょうどよい”σ-加法族を探すことになる。

測度：可算加法性をもつ「大きさ」

家族が決まったので、その上に「大きさ」を乗せます。核心は可算加法性です。

定義測度

可測空間 $(X,\mathcal{F})$ 上の関数 $\mu:\mathcal{F}\to[0,\infty]$ が測度であるとは、

$\mu(\varnothing)=0$ 。
（可算加法性）互いに素な $A_1,A_2,\dots\in\mathcal{F}$ （ $i\ne j$ で $A_i\cap A_j=\varnothing$ ）に対し $\mu\Big(\bigsqcup_{n=1}^\infty A_n\Big)=\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n).$

三つ組 $(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間という。 $\mu(X)=1$ のとき確率測度という。

値に $\infty$ を許すこと（ $\mathbb{R}$ 全体の長さは $\infty$ ）、そして和が可算無限個までなことに注意。この二点が、後の収束定理まで効いてきます。

例測度の例

数え上げ測度： $\mu(A)=A$ の要素数（無限なら $\infty$ ）。可算加法性は明らか。「大きさ＝個数」。
ディラック測度 $\delta_p$ ：点 $p$ を含めば $1$ 、含まなければ $0$ 。「質点が $p$ にある」。
ルベーグ測度（第3〜4章で構成）：区間 $[a,b]$ に長さ $b-a$ を与える、 $\mathbb{R}$ 上の“本命”。

可算加法性から、ただで出てくる性質

公理は二つだけなのに、そこから実に多くが従います。これらは以後ずっと使う道具です。

定理測度の基本性質

測度 $\mu$ について、次が成り立つ。

（有限加法性）互いに素な有限個で $\mu(A_1\sqcup\cdots\sqcup A_n)=\sum\mu(A_k)$ 。
（単調性） $A\subseteq B\Rightarrow \mu(A)\le\mu(B)$ 。
（劣加法性）任意の可算個で $\mu\big(\bigcup A_n\big)\le\sum\mu(A_n)$ （互いに素でなくてよい）。
（下から連続） $A_1\subseteq A_2\subseteq\cdots$ なら $\mu\big(\bigcup A_n\big)=\lim_{n\to\infty}\mu(A_n)$ 。
（上から連続） $A_1\supseteq A_2\supseteq\cdots$ かつ $\mu(A_1)<\infty$ なら $\mu\big(\bigcap A_n\big)=\lim_{n\to\infty}\mu(A_n)$ 。

証明

(1) 可算加法性で $A_{n+1}=A_{n+2}=\cdots=\varnothing$ とすれば、 $\mu(\varnothing)=0$ より有限和になる。 (2) $B=A\sqcup(B\setminus A)$ と分ければ $\mu(B)=\mu(A)+\mu(B\setminus A)\ge\mu(A)$ 。 (3) 重なりを剥がす定番の技： $B_1=A_1,\ B_n=A_n\setminus(A_1\cup\cdots\cup A_{n-1})$ とおくと $B_n$ は互いに素で $\bigcup B_n=\bigcup A_n$ 、かつ $B_n\subseteq A_n$ 。可算加法性と単調性より $\mu(\bigcup A_n)=\sum\mu(B_n)\le\sum\mu(A_n)$ 。 (4) 差の階段 $C_1=A_1,\ C_n=A_n\setminus A_{n-1}$ は互いに素で $\bigsqcup_{k\le n}C_k=A_n$ 、 $\bigsqcup C_k=\bigcup A_n$ 。可算加法性より $\mu(\bigcup A_n)=\sum_k\mu(C_k)=\lim_n\sum_{k\le n}\mu(C_k)=\lim_n\mu(A_n)$ 。 (5) $A_1\setminus A_n$ は増大列で $\bigcup(A_1\setminus A_n)=A_1\setminus\bigcap A_n$ 。(4) を適用し、 $\mu(A_1)<\infty$ ゆえ引き算できて結論を得る。∎

「重なりを剥がして互いに素にする」（(3)(4) の $B_n,C_n$ ）は、測度論で最頻出の一手です。可算加法性は互いに素にしか使えないので、まず素に組み替える。この型は覚えておく価値があります。

注意 (5) の $\mu(A_1)<\infty$ は外せない

$A_n=[n,\infty)$ とすると各 $\mu(A_n)=\infty$ だが $\bigcap A_n=\varnothing$ で $\mu=0$ 。上から連続には有限性が要る。 $\infty-\infty$ を避けるための条件、と覚えるとよい。

ちょうどよい家族：ボレル集合

$\mathbb{R}$ で「測りたい集合」の出発点は開区間です。開区間から集合演算（補・可算和）を繰り返して届く範囲を、最小のσ-加法族として囲い込みます。

定義生成されるσ-加法族・ボレル集合

部分集合の族 $\mathcal{C}$ に対し、 $\mathcal{C}$ を含む最小のσ-加法族 $\sigma(\mathcal{C})$ が存在する（ $\mathcal{C}$ を含むσ-加法族すべての共通部分をとればよい——共通部分はまたσ-加法族）。 $\mathbb{R}^n$ の開集合全体が生成する $\sigma(\text{開集合})$ をボレル集合族 $\mathcal{B}$ 、その元をボレル集合という。

開集合・閉集合・可算個の開区間の共通部分・和…と、実際に手で作れる集合はほぼ全部ボレル集合です。第4章では、このボレル集合（を少し完備化したもの）の上に、区間の長さを $b-a$ とするルベーグ測度がちょうど乗ることを見ます。

つまずきポイント

注意よくある誤解

可算加法性 ≠ 非可算加法性。 点一個の測度が $0$ でも、 $[0,1]$ （非可算個の点）の測度が $0$ になるわけではない。足せるのは可算個まで。ここを混同すると「全部 $0$ の寄せ集めが $1$ 」という矛盾に見えてしまう。
σ-加法族は「和・補で閉じる」が、任意和では閉じない。 一点集合を非可算個集めた $[0,1]$ が必ず入るとは限らない（実際には入るが、それは可算操作の帰結や生成の結果としてであって、非可算和を許すからではない）。
測度が乗る前に、まず可測空間（ $X,\mathcal{F}$ ）を決める。 「どの集合を測るか」が先、「いくら測るか」が後。
$\sigma(\mathcal{C})$ は具体的に書き下せない。 「 $\mathcal{C}$ を含む最小」という存在で定義する。ボレル集合を「こういう形」と一覧化はできない。生成という抽象操作に慣れることが大事。

この章のまとめ

すべての集合は測れない。だから「測れる集合の家族」＝σ-加法族（ $X$ ・補集合・可算和で閉じる）をまず用意する。
その上に測度（ $\mu(\varnothing)=0$ と可算加法性）を乗せる。ここから単調性・劣加法性・上下からの連続性が自動的に従う。「重なりを剥がして互いに素にする」が定石。
$\mathbb{R}^n$ では開集合が生成するボレル集合族が主戦場。次章は、まだ「測れる家族」も測度値も与えられていない状態から、外測度を使って測度を実際に構成します（カラテオドリの拡張）。

次章では、素朴な「外から覆う大きさ」＝外測度から出発し、そこから可測集合とσ-加法族を自動生成する見事な仕掛け——カラテオドリの拡張定理——を作ります。