第1章なぜ積分を作り直すのか

リーマン積分は、意外ともろい

微積分の第7章で作った積分——区間を細かく刻んで短冊の面積を足す、あのリーマン積分——は、多項式でも三角関数でも、たいていの関数をきちんと積分してくれます。日常の計算では、これで何も困りません。

ところが、少し意地悪な関数を持ち出すと、途端にほころびます。有名なのが次のディリクレ関数です。

D(x)=\begin{cases}1 & (x \text{ が有理数})\\ 0 & (x \text{ が無理数})\end{cases}

これを $[0,1]$ でリーマン積分しようとすると、どんなに細かく刻んでも、各小区間には有理数も無理数も必ずいます。だから小区間での「いちばん高い値」を採れば $1$ 、「いちばん低い値」を採れば $0$ 。上からの見積り（上積分）は $1$ 、下からの見積り（下積分）は $0$ で、いつまでたっても一致しません。リーマンの意味では積分不可能です。

「そんな病的な関数、実用で出てこないでしょ」と思うかもしれません。でも本当に困るのは、もっと切実な場面です。

本当の弱点：極限と積分が交換できない

現代の解析は、関数を一個ずつ相手にするのではなく、関数の列 $f_1, f_2, f_3,\dots$ の極限を扱います。近似列を作り、その極限として目的の関数を得る——これが常套手段です。このとき喉から手が出るほど欲しいのが、

\lim_{n\to\infty}\int f_n \;=\; \int \lim_{n\to\infty} f_n

という極限と積分の交換です。「近似を積分した極限」＝「極限を積分したもの」であってほしい。ところがリーマン積分では、これが一様収束という強い条件を課さないと保証されません。各点で $f_n(x)\to f(x)$ となるだけでは全く足りない。おまけに、 $f_n$ が全部リーマン積分できても、極限 $f$ がリーマン積分可能とは限らない（有理数を数え上げて $D(x)$ を作れる）。土台が崩れるのです。

リーマン積分の二大弱点：(1) 不連続がひどい関数を積分できない。(2) 極限と積分の交換に強い条件が要る。どちらも「関数列の極限」を扱う現代解析にとって致命的。

原因は「刻む向き」にあった

ルベーグは、原因を積分の作り方そのものに見ました。リーマンは定義域（横軸）を縦に刻む。だから、関数が横方向に激しく暴れると、各短冊の中で値がバラバラになり、高さが決まらない。

発想を変えましょう。値域（縦軸）を横に刻むのです。「値がだいたい $c$ になる $x$ は、全部でどれくらいの『大きさ』を占めるか」を測り、 $c \times(\text{その大きさ})$ を足し上げる。ディリクレ関数なら話は一瞬で終わります。値が $1$ になる $x$ は有理数だけ——これは $[0,1]$ の中で「大きさ $0$ 」（後の章で厳密にします。可算個の点は測度 $0$ ）。値が $0$ になる $x$ は無理数で「大きさ $1$ 」。だから積分は $1\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0$ 。すっきり値が決まります。

たとえるなら、床にばらまいた大量の小銭を数えるのに、リーマンは「左から順に一枚ずつ拾って足す」。 ルベーグは「まず同じ額のコインごとに山分けし、各山の枚数を数えて額×枚数を足す」。コインの並び方（ $x$ の順序）がどんなにぐちゃぐちゃでも、額（値）で仕分ければ勘定は乱れません。

刻み数 N ＝ 8 注目する値の帯＝ 3

上で二つの刻み方を見比べてください。「縦に刻む」では短冊が段差だらけですが、「横に刻む」に切り替えると、値の帯ごとにその原像 $\{x : f(x)\in \text{帯}\}$ （x 軸上の赤線）を測って足しているのが見えます。この原像は、非単調な関数だと複数の区間の寄せ集めになります——でも「大きさ（測度）さえ測れれば」構いません。

だから、まず「集合の大きさ」を作る

ここで問題が反転します。ルベーグ積分をやるには、「集合の大きさ」＝測度を先に手に入れねばなりません。 $\{x : f(x)\in \text{帯}\}$ のような、区間とは限らない複雑な集合の「長さ」を測る仕組みが要る。これが測度論の主役です。順番はこうなります。

注意この分野の進み方

集合を測る（第2〜4章）：どんな集合に「大きさ」を割り当てられるか。σ-加法族・外測度・ルベーグ測度。
関数を積分する（第5〜8章）：測度を土台に、値域を刻んで積分を定義。そして極限と積分の交換（収束定理）。
積分を使いこなす（第9〜12章）：多重積分（フビニ）、関数空間 $L^p$ 、測度の微分（ラドン–ニコディム）。

素朴には「長さ」なんて自明に思えます。ところが第4章で、選択公理を使うと“長さを測れない集合”が作れてしまう という衝撃の事実（ヴィタリ）に出会います。だからこそ「測れる集合とは何か」を慎重に定義する必要があるのです。

つまずきポイント

注意よくある誤解

「ルベーグ積分はリーマン積分と別物で、値が変わる」わけではない。 リーマン積分できる関数（有界で不連続点が少ない）は、ルベーグ積分しても同じ値になる（第6章）。ルベーグは「積分できる関数の範囲を広げ、極限の扱いを丈夫にした」拡張版。
「横に刻む」＝ただ軸を入れ替えるだけ、ではない。 肝は「値の帯の原像の大きさを測る」点。この原像が複雑でも測度さえあれば足せる——そこが新しい。だから測度の構成が先に要る。
ディリクレ関数が積分 $0$ なのは、有理数が「少ない」から。 可算個の点は測度 $0$ 。これは第2章以降で厳密にする。

この章のまとめ

リーマン積分は定義域を縦に刻むため、値が激しく暴れる関数（ディリクレ関数）に弱く、極限と積分の交換に一様収束という強条件が要る。
ルベーグは値域を横に刻む：値の帯ごとに、その**原像の大きさ（測度）**を測って「値×大きさ」を足す。並び順に乱されない。
そのためには先に「集合の大きさ＝測度」を厳密に作る必要がある。次章はその第一歩——どんな集合の集まりなら大きさを測れるか（σ-加法族と測度）から始めます。

次章では、「測れる集合の集まり」が満たすべき条件を洗い出し、σ-加法族と測度の公理を立てます。

第1章 なぜ積分を作り直すのか