⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第6章 ルベーグ積分の構成

三段ロケットで積分を作る

道具は揃いました。単関数（値×原像の大きさ）と、非負可測関数を単関数で下から近づける近似定理です。 積分は三段階で組み立てます——単関数で土台を作り、非負可測関数へ持ち上げ、最後に符号のある一般の 関数へ。各段で「前の段の積分の極限（上限）」として定義するのがコツです。

積分の設計図：単関数 →（下からの上限）→ 非負可測 →（正負に分けて引き算）→ 一般の可積分関数。

第一段：単関数の積分

第1章の作戦そのままです。値にその原像の大きさを掛けて足す。

定義 単関数の積分

単関数 s=∑k=1nak1Eks=\sum_{k=1}^n a_k\mathbf{1}_{E_k}（ak≥0a_k\ge0、EkE_k は互いに素な可測集合）に対し、その積分を

∫Xs dμ=∑k=1nak μ(Ek)\int_X s\,d\mu=\sum_{k=1}^n a_k\,\mu(E_k)

で定義する（ak=0a_k=0 かつ μ(Ek)=∞\mu(E_k)=\infty のときは 0⋅∞=00\cdot\infty=0 と約束）。この値は ss の表し方によらない。

「表し方によらない」ことは、二つの表現の共通細分をとれば有限加法性から確認できます。単関数の積分は 線形かつ単調（s≤ts\le t なら ∫s≤∫t\int s\le\int t）——値×大きさの足し算なので当然です。

第二段：非負可測関数の積分

非負可測関数 ff は、下から単関数で近づけられました（第5章）。ならば積分は「下から詰め寄る単関数の積分の 上限」とするのが自然です。

定義 非負可測関数の積分

可測関数 f≥0f\ge0 に対し

∫Xf dμ=sup⁡{∫Xs dμ : s は単関数, 0≤s≤f}.\int_X f\,d\mu=\sup\Big\{\int_X s\,d\mu\ :\ s\ \text{は単関数},\ 0\le s\le f\Big\}.

値は [0,∞][0,\infty]（無限大を許す）。

上限を「ff 以下のすべての単関数」でとるので、近似列の取り方によらず一意に決まります。ここが「下から・ 上限」という設計の御利益です。第5章の単調増大近似 sn↑fs_n\uparrow f を使えば ∫f=lim⁡n∫sn\int f=\lim_n\int s_n とも書けます （これが正しいこと＝上限と極限の一致は、次章の単調収束定理が保証します。積分の定義と収束定理は表裏一体）。

定理 非負積分の性質

f,g≥0f,g\ge0 可測、c≥0c\ge0 とする。

  1. 単調性：f≤g⇒∫f≤∫gf\le g\Rightarrow\int f\le\int g。
  2. 正斉次：∫cf=c∫f\int cf=c\int f。
  3. 加法性：∫(f+g)=∫f+∫g\int(f+g)=\int f+\int g。

単調性・正斉次は定義（上限）から直ちに出ます。加法性は、単関数どうしなら明らか、一般には fn↑f, gn↑gf_n\uparrow f,\ g_n\uparrow g なる単調近似を取り fn+gn↑f+gf_n+g_n\uparrow f+g として単調収束定理（次章）に載せれば従います。

注意 積分 0 の意味と a.e.

f≥0f\ge0 で ∫f=0\int f=0   ⟺  \iff f=0f=0 a.e.。証明の芯：{f>1/n}\{f>1/n\} が正の測度をもてば ∫f≥1nμ({f>1/n})>0\int f\ge\frac1n\mu(\{f>1/n\})>0。 よって ∫f=0\int f=0 なら全ての {f>1/n}\{f>1/n\} が測度 00、和も 00 で f=0f=0 a.e.。逆に a.e. 0 なら積分 0——測度 00 の 集合の上の値は積分に効かない。これで「a.e. で等しい関数は積分が等しい」が正当化される。

第三段：一般の可積分関数

符号のある関数は、正の部分と負の部分に割って引き算します。

定義 可積分関数の積分

可測関数 ff を正負に分ける：f+=max⁡(f,0), f−=max⁡(−f,0)f^+=\max(f,0),\ f^-=\max(-f,0)（ともに非負可測、f=f+−f−, ∣f∣=f++f−f=f^+-f^-,\ |f|=f^++f^-）。 ∫f+<∞\int f^+<\infty かつ ∫f−<∞\int f^-<\infty のとき（同値：∫∣f∣<∞\int|f|<\infty）、ff を可積分といい

∫Xf dμ=∫Xf+ dμ−∫Xf− dμ.\int_X f\,d\mu=\int_X f^+\,d\mu-\int_X f^-\,d\mu.

可積分関数全体を L1(μ)L^1(\mu) と書く。A⊆XA\subseteq X 可測上の積分は ∫Af dμ:=∫Xf 1A dμ\int_A f\,d\mu:=\int_X f\,\mathbf{1}_A\,d\mu。

∫∣f∣<∞\int|f|<\infty を要求するのは、∞−∞\infty-\infty（∫f+=∫f−=∞\int f^+=\int f^-=\infty）という無意味を避けるため。 「ルベーグ積分では絶対可積分＝可積分」——これはリーマンの広義積分（条件収束を許す）との重要な違いです。

定理 ルベーグ積分の性質

f,g∈L1, α,β∈Rf,g\in L^1,\ \alpha,\beta\in\mathbb{R} とする。

  1. 線形性：∫(αf+βg)=α∫f+β∫g\int(\alpha f+\beta g)=\alpha\int f+\beta\int g。
  2. 単調性：f≤g⇒∫f≤∫gf\le g\Rightarrow\int f\le\int g。
  3. 三角不等式：∣∫f∣≤∫∣f∣\big|\int f\big|\le\int|f|。

線形性は「正負に分けて非負積分の性質を使う」だけですが、(αf+βg)±(\alpha f+\beta g)^\pm の組み替えは少し手間がかかります （f+gf+g の正部分は f+,g+f^+,g^+ の単純な和ではないため、 (f+g)++f−+g−=(f+g)−+f++g+\,(f+g)^+ + f^- + g^- = (f+g)^- + f^+ + g^+ という等式を非負積分の 加法性に載せる）。三角不等式は −∣f∣≤f≤∣f∣-|f|\le f\le|f| に単調性を当てるだけ。

リーマン積分との関係：ちゃんと拡張になっている

新しい積分が古い積分と食い違っては困ります。有界閉区間でリーマン積分できる関数は、ルベーグ積分でき、値も 一致します。ルベーグはリーマンの正当な拡張です。

定理 リーマンとルベーグの一致

f:[a,b]→Rf:[a,b]\to\mathbb{R} が有界とする。

  1. ff がリーマン積分可能   ⟺  \iff ff の不連続点全体が測度 00（ルベーグの判定条件）。
  2. リーマン積分可能なら ff はルベーグ可積分で、∫abf dx=∫[a,b]f dμ\displaystyle\int_a^b f\,dx=\int_{[a,b]}f\,d\mu。

(1) は「リーマン積分できる＝ほとんど至る所連続」という美しい特徴づけ。ディリクレ関数は至る所不連続（不連続点 の測度が b−ab-a）なのでリーマン不可能、と即座に説明がつきます。一方ルベーグでは、それは a.e. で 00 なので ∫=0\int=0。 拡張の御利益が数値で見えます。

注意 広義積分では話が分かれる

一致は有界閉区間での話。広義リーマン積分には、∫0∞sin⁡xxdx\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}dx のように条件収束する （∫∣sin⁡x∣x=∞\int\frac{|\sin x|}{x}=\infty）ものがある。これはルベーグ可積分ではない（∫∣f∣=∞\int|f|=\infty）。 「ルベーグの方が広い」は万能ではなく、絶対収束しない振動積分はリーマン広義積分の領分。棲み分けがある。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 非負積分は「ff 以下の単関数の上限」。 「上からの単関数の下限」ではない。下から詰めるから近似列に よらず一意になる。向きが命。
  • 可積分＝ ∫∣f∣<∞\int|f|<\infty。 ∫f\int f が有限に“見える”だけでは不十分。f+,f−f^+,f^- の両方が有限でないと定義しない。 条件収束はルベーグ可積分ではない。
  • リーマン可能ならルベーグ可能で値も同じ。 「別の積分だから値が違うかも」は誤解。有界閉区間では完全に一致。
  • a.e. の違いは積分に効かない。 測度 00 上でどう値を変えても ∫\int は不変。だから L1L^1 では a.e. 等しい関数を 同一視する（第10章で本格化）。

この章のまとめ

  • ルベーグ積分は三段階：単関数は「値×原像の大きさ」の和、非負可測は「下からの単関数積分の上限」、一般は正負に分けて ∫f+−∫f−\int f^+-\int f^-（∫∣f∣<∞\int|f|<\infty が可積分の条件）。
  • 得られる積分は線形・単調・三角不等式をみたす。∫f=0 (f≥0)  ⟺  f=0\int f=0\ (f\ge0)\iff f=0 a.e. で、測度 00 の違いは無視される。
  • リーマン積分の正当な拡張：有界閉区間でリーマン可能   ⟺  \iff a.e. 連続、そのとき値は一致。ただし条件収束する広義積分は別枠。
  • 次章は本分野の主役——極限と積分の交換を自由にする三大定理（単調収束・ファトゥ・優収束）。第1章で挙げたリーマンの弱点を、ここで完全に克服します。

次章では、単調収束定理・ファトゥの補題・優収束定理を証明し、極限と積分がなぜ・どこまで交換できるかを、破れる例（前章までの伏線）とともに見極めます。