⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第7章 収束定理 — 極限と積分の交換

ここが、ルベーグ積分を作った理由

第1章で挙げたリーマン積分の最大の弱点——極限と積分の交換に一様収束という強い条件が要る——を、いよいよ 克服します。ルベーグ積分の世界では、fn→ff_n\to f（各点収束、a.e. でよい）だけを土台に、ずっと緩い条件で

lim⁡n→∞∫fn=∫lim⁡n→∞fn\lim_{n\to\infty}\int f_n=\int \lim_{n\to\infty} f_n

が言えます。この交換を保証する三つの定理——単調収束定理・ファトゥの補題・優収束定理——が、この分野の 到達点であり、以後の解析（フーリエ、確率、関数解析）すべての土台になります。

まず「いつでも交換できるわけではない」ことを、体で覚えておきましょう。

まず、交換が破れる様子を見る

各点では fn→0f_n\to 0 なのに ∫fn\int f_n が 00 に落ちない——そんな例が簡単に作れます。下で動かしてください。

三つのモードに共通するのは「質量（面積）が逃げる・集まる」こと。逃げる山は質量が無限遠へ、尖る山は 一点へ、広がる板は薄く広く逃げる。どれも各点極限は 00 なのに ∫fn=1\int f_n=1 のまま。だから lim⁡∫fn=1≠0=∫lim⁡fn\lim\int f_n=1\ne 0=\int\lim f_n。「関数が 00 に近づく」ことと「その積分が 00 に近づく」ことは別物—— 交換を許す定理は、この“質量の逃亡”を封じる条件をそれぞれ違う形で課します。それを念頭に読み進めましょう。

交換が破れる原因は、質量が台の外へ逃げること。各定理は「単調」「非負」「優関数で抑える」という別々の方法で逃亡を封じる。

単調収束定理（MCT）：下から積み上げるなら交換できる

いちばん基本。非負で単調増大なら、極限と積分は無条件で交換できます。質量は増える一方で逃げられないからです。

定理 単調収束定理 (Beppo Levi)

可測関数列が 0≤f1≤f2≤⋯0\le f_1\le f_2\le\cdots をみたし、各点で fn↑ff_n\uparrow f（f=lim⁡fn=sup⁡nfnf=\lim f_n=\sup_n f_n）とする。すると

lim⁡n→∞∫fn dμ=∫f dμ.\lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu=\int f\,d\mu.

証明

単調性より ∫fn\int f_n は増大し ∫fn≤∫f\int f_n\le\int f、よって lim⁡∫fn≤∫f\lim\int f_n\le\int f。逆を示す。単関数 ss を 0≤s≤f0\le s\le f、 定数 0<c<10<c<1 を任意にとり、An={x:fn(x)≥c s(x)}A_n=\{x: f_n(x)\ge c\,s(x)\} とおく。fn↑f≥s>csf_n\uparrow f\ge s>cs なので AnA_n は増大し ⋃An=X\bigcup A_n=X。すると

∫fn ≥ ∫Anfn ≥ c∫Ans.\int f_n\ \ge\ \int_{A_n} f_n\ \ge\ c\int_{A_n}s.

s=∑ak1Eks=\sum a_k\mathbf{1}_{E_k} に対し ∫Ans=∑akμ(Ek∩An)\int_{A_n}s=\sum a_k\mu(E_k\cap A_n) で、An↑XA_n\uparrow X と測度の下からの連続性 （第2章）より ∫Ans→∫s\int_{A_n}s\to\int s。ゆえに lim⁡∫fn≥c∫s\lim\int f_n\ge c\int s。c↑1c\uparrow1、続いて s↑fs\uparrow f の上限をとって lim⁡∫fn≥∫f\lim\int f_n\ge\int f。∎

証明で効いたのは、第2章の測度の下からの連続性（増大集合列で測度が極限に一致）。単調増大な関数列の交換が、 単調増大な集合列の測度の連続性に化ける——測度の性質が、そのまま積分の性質に翻訳される好例です。MCT は前章で 保留した「∫f=lim⁡∫sn\int f=\lim\int s_n」も正当化し、積分の定義を完成させます。

ファトゥの補題：不等式なら常に言える

収束や単調性がなくても、非負でありさえすれば片側の不等式は常に成り立ちます。「質量は逃げることはあっても、 勝手に湧いてはこない」——極限で質量が減ることはあっても増えることはない、という主張です。

定理 ファトゥの補題

fn≥0f_n\ge0 可測なら

∫lim inf⁡n→∞fn dμ ≤ lim inf⁡n→∞∫fn dμ.\int \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu\ \le\ \liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu.

証明

gn=inf⁡k≥nfkg_n=\inf_{k\ge n}f_k とおくと 0≤gn↑lim inf⁡fn0\le g_n\uparrow\liminf f_n（下限の単調増大列）。MCT より ∫lim inf⁡fn=lim⁡∫gn\int\liminf f_n=\lim\int g_n。一方 gn≤fk (k≥n)g_n\le f_k\ (k\ge n) ゆえ ∫gn≤inf⁡k≥n∫fk≤lim inf⁡∫fn\int g_n\le\inf_{k\ge n}\int f_k\le\liminf\int f_n。 両辺の極限をとって結論。∎

逃げる山で確かめましょう：lim inf⁡fn=0\liminf f_n=0 で左辺 ∫0=0\int 0=0、右辺 lim inf⁡∫fn=1\liminf\int f_n=1。確かに 0≤10\le1、 そして等号は成り立たない。ファトゥの不等号は「質量が逃げた分だけ、極限の積分が本来より小さく見える」ことを 表しています。等号を回復するには、逃亡を禁じる追加条件が要る——それが次の優収束定理です。

優収束定理（DCT）：一枚の屋根で抑えれば交換できる

実用でいちばん使うのがこれ。各点収束に加え、列全体を一つの可積分関数 gg で頭から抑えると、交換が完全に 成り立ちます。gg が「屋根」となって質量の逃亡を許さないのです。

定理 優収束定理 (Lebesgue)

可測関数列 fnf_n が a.e. で fn→ff_n\to f に収束し、ある可積分な g≥0g\ge0（∫g<∞\int g<\infty）が存在して すべての nn で ∣fn∣≤g|f_n|\le g a.e. とする。すると f∈L1f\in L^1 で

lim⁡n→∞∫fn dμ=∫f dμ,さらにlim⁡n→∞∫∣fn−f∣ dμ=0.\lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu=\int f\,d\mu,\qquad\text{さらに}\quad\lim_{n\to\infty}\int|f_n-f|\,d\mu=0.

証明

∣fn∣≤g|f_n|\le g で極限をとり ∣f∣≤g|f|\le g ゆえ f∈L1f\in L^1。∣fn−f∣≤2g|f_n-f|\le 2g なので 2g−∣fn−f∣≥02g-|f_n-f|\ge0。これにファトゥを当てる：

∫2g=∫lim inf⁡(2g−∣fn−f∣)≤lim inf⁡∫(2g−∣fn−f∣)=∫2g−lim sup⁡∫∣fn−f∣.\int 2g=\int\liminf(2g-|f_n-f|)\le\liminf\int(2g-|f_n-f|)=\int 2g-\limsup\int|f_n-f|.

∫2g<∞\int 2g<\infty を引き去ると lim sup⁡∫∣fn−f∣≤0\limsup\int|f_n-f|\le0、よって ∫∣fn−f∣→0\int|f_n-f|\to0。三角不等式 ∣∫fn−∫f∣≤∫∣fn−f∣→0|\int f_n-\int f|\le\int|f_n-f|\to0 で積分の交換も従う。∎

証明の鍵は「非負量 2g−∣fn−f∣2g-|f_n-f| にファトゥを当てる」一手。可積分な屋根 gg があるおかげで ∫2g\int 2g を引き算でき、 不等式が両側から締まる。逃げる山たちに gg が作れないのは、sup⁡nfn\sup_n f_n を抑える可積分関数が存在しない （質量が無限遠まで散らばる）から。DCT が破れる例＝gg が作れない例、と理解すると腑に落ちます。

注意 有界収束定理という手軽版

有限測度空間（μ(X)<∞\mu(X)<\infty）で、∣fn∣≤M|f_n|\le M（定数）かつ fn→ff_n\to f a.e. なら交換できる（g≡Mg\equiv M が可積分： ∫M=Mμ(X)<∞\int M=M\mu(X)<\infty）。これを有界収束定理という。確率空間（μ(X)=1\mu(X)=1）で特に便利。

使い分けの型

注意 どの定理をいつ使うか

  • 単調増大で非負 → 迷わず MCT。級数 ∑fk\sum f_k（部分和は増大）と積分の交換は MCT の独壇場。
  • 収束や上界の情報がない・不等式評価だけ欲しい → ファトゥ。極限の積分を下から評価する保険。
  • 収束していて、全体を抑える屋根 gg が作れる → DCT。実務の主力。まず ∣fn∣≤g|f_n|\le g の gg を探すのが思考の型。
  • 三つとも「質量の逃亡」を別の方法で封じている。破れる例（逃げる山・尖る山）を一つ手元に置くと、条件の意味を 忘れない。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 各点収束だけでは交換できない。 逃げる山が反例。追加条件（単調・非負・優関数）が必ず要る。
  • ファトゥは等号ではなく不等号。 しかも向きが決まっている（∫lim inf⁡≤lim inf⁡∫\int\liminf\le\liminf\int）。逆向きは一般に偽。
  • DCT の gg は「nn によらない一枚」。 各 nn ごとに違う屋根ではダメ。全員を同時に抑える可積分関数が要る。
  • gg は可積分でなければならない。 gg を大きく取れば抑えられるが、∫g=∞\int g=\infty だと引き算ができず証明が 回らない。「抑えられる」だけでなく「gg が積分有限」が命。

この章のまとめ

  • リーマンの弱点（極限と積分の交換に一様収束が要る）を克服する三大定理。共通の敵は「質量の逃亡」。
  • MCT：非負・単調増大なら無条件で交換（測度の下からの連続性の翻訳）。積分の定義も完成させる。
  • ファトゥ：非負なら常に ∫lim inf⁡≤lim inf⁡∫\int\liminf\le\liminf\int。逃げた質量のぶん左が小さい。
  • DCT：各点収束＋可積分な屋根 gg で一様に抑えると完全に交換でき、∫∣fn−f∣→0\int|f_n-f|\to0 まで言える。実務の主力。
  • 次章は、収束のさまざまな流儀（各点・一様・測度・L1L^1）の関係を整理し、それらを橋渡しするエゴロフ・ルジンの定理を見ます。

次章では、各点収束・一様収束・測度収束・平均収束の相互関係を地図にし、「ほとんど一様」「ほとんど連続」という驚きの定理（エゴロフ・ルジン）を証明します。