第1章加群とは

スカラーの世界を、体から環へ

線形代数のベクトル空間は「体の上の」空間でした。スカラー倍の係数が体（ $\mathbb R$ や $\mathbb C$ 、割り算のできる世界）だったからこそ、基底がとれ、次元が定まり、話がすっきりしていた。では、係数を体でなく環（ $\mathbb Z$ のように割り算ができないかもしれない世界、環論）にしたら、何が起こるでしょう。

これが加群です。ベクトル空間の素直な一般化ですが、係数の割り算が効かないぶん、基底が取れないこともあり、ずっと豊かで繊細になります。ご褒美は絶大——**「 $\mathbb Z$ 上の加群＝アーベル群」「 $K[x]$ 上の加群＝線形変換のついたベクトル空間」**と、別々に見えた対象が一つの理論に統一される。線形代数のジョルダン標準形も、有限アーベル群の分類も、実は同じ「PID上の加群の構造定理」（第6・7章）の二つの顔なのです。

加群＝環の上のベクトル空間。係数の割り算が効かないぶん繊細だが、線形代数と群論を一つの言葉にまとめる。

加群の定義

定義加群

環 $R$ （単位元 $1$ をもつ）に対し、アーベル群 $(M,+)$ とスカラー倍 $R\times M\to M,\ (r,x)\mapsto rx$ が、次をみたすとき $M$ を左 $R$ 加群という：

r(x+y)=rx+ry,\quad (r+s)x=rx+sx,\quad (rs)x=r(sx),\quad 1x=x.

（ $R$ が可換なら左右の区別は不要。以下、可換環を主に扱う。）

条件はベクトル空間の公理とまったく同じ——「分配則・結合則・単位元」。違いはただ一点、係数 $R$ が体でなく環だということ。 $R$ が体なら、これはベクトル空間の定義そのもの。加群は「体を環に置き換えただけのベクトル空間」です。しかし、この一点の置き換えが劇的な違いを生みます（次節）。

例——一つの定義が多くを統一する

加群の威力は、その例の広さにあります。係数環 $R$ を選ぶだけで、まったく別分野の対象が現れます。

例加群の例（統一の力）

ベクトル空間： $R=K$ （体）なら $R$ 加群＝ $K$ ベクトル空間。加群は線形代数の一般化。
アーベル群： $R=\mathbb Z$ なら $\mathbb Z$ 加群＝アーベル群。 $nx=x+\cdots+x$ （ $n$ 回）でスカラー倍が自動的に決まる——アーベル群と $\mathbb Z$ 加群は同じもの。群論が加群論に吸収される。
線形変換つき空間： $R=K[x]$ （多項式環）なら、 $K[x]$ 加群＝「ベクトル空間 $V$ ＋線形変換 $T$ 」（ $x$ の作用を $T$ とみなす）。線形代数の主役がそのまま加群。
環自身・イデアル：環 $R$ はそれ自身 $R$ 加群、イデアル $I\subseteq R$ も部分加群。 $R^n$ は自由加群（第3章）。

$\mathbb Z$ 加群がアーベル群と同じなのは、示唆的です。アーベル群には掛け算がないのに、 $nx=x+x+\cdots+x$ （ $n$ 回足す）という操作が自動的に「 $\mathbb Z$ によるスカラー倍」を定める。だからアーベル群は最初から $\mathbb Z$ 加群。同様に $K[x]$ 加群は「 $x$ をどう作用させるか（線形変換 $T$ ）」の情報を持つ——線形代数の「行列 $T$ の分析」が、加群論の言葉になります。

体と環の決定的な違い——基底が取れない

ベクトル空間と加群を分ける、最も重要な違いがこれです。体の上では必ず基底が取れる（線形代数の基本定理）。 環の上では基底が取れないことがある。この一点が、加群論を線形代数よりずっと豊かにします。

定理加群には基底がないことがある

$\mathbb Z$ 加群 $\mathbb Z/n\mathbb Z$ （ $n\ge2$ ）は、 $0$ でない元をもつのに基底をもたない。任意の元 $x$ は $nx=0$ をみたし（ねじれ）、一次独立な元が存在しないから。

証明

$\mathbb Z/n\mathbb Z$ の任意の元 $x$ に対し $n\cdot x=0$ だが $n\ne0$ （ $\mathbb Z$ の中で）。もし $x$ が基底の一部なら「 $n x=0\Rightarrow n=0$ 」でなければならないが $n\ne0$ 。よって一次独立な元が一つもとれず、基底が存在しない。∎

体の上なら、 $nx=0$ かつ $x\ne0$ なら $n$ が可逆で $x=n^{-1}\cdot0=0$ ——矛盾なので「ねじれ」は起きません。ところが環（ $\mathbb Z$ ）では $n$ が可逆でないので、 $x\ne0$ なのに $nx=0$ というねじれ元が存在できる。 $\mathbb Z/n\mathbb Z$ は「有限なのに $0$ でない」加群で、基底も次元もない。この「ねじれ」こそ、係数の割り算が効かないことの直接の帰結であり、加群論の繊細さの源です（第4・6章で深掘り）。

注意加群論の二つの顔——線形代数と群論の統一

$R=K$ （体）に特殊化すれば線形代数、 $R=\mathbb Z$ ならアーベル群論、 $R=K[x]$ なら線形変換論。加群論は、これらを一つの言葉でまとめる。だから加群論で証明した定理は、体・ $\mathbb Z$ ・ $K[x]$ の三つの世界に同時に効く。第6・7章の「PID上の構造定理」が、有限アーベル群の分類とジョルダン標準形という、一見無関係な二大定理を同時に生むのは、この統一の力の頂点。「別々に見えたものが実は同じ」——加群論の醍醐味。

つまずきポイント

注意よくある誤解

加群＝環の上のベクトル空間。 公理はベクトル空間と同じ、係数が体でなく環なだけ。だが基底が取れないことがある——ここが本質的な違い。
アーベル群＝ $\mathbb Z$ 加群。 別概念でなく同じもの。 $nx$ （ $n$ 回足す）がスカラー倍を自動的に定める。群論が加群論に含まれる。
$K[x]$ 加群＝線形変換つき空間。 $x$ の作用が線形変換 $T$ 。線形代数の行列分析が加群の言葉になる。
ねじれ元は体では起きない。 $nx=0,x\ne0$ は $n$ が非可逆な環でのみ。 $\mathbb Z/n$ が基底をもたない原因。

この章のまとめ

加群＝環 $R$ の上のベクトル空間（公理はベクトル空間と同じ、係数が体でなく環）。
一つの定義が多くを統一： $R=K$ でベクトル空間、 $R=\mathbb Z$ でアーベル群、 $R=K[x]$ で線形変換つき空間。群論・線形代数が加群論に吸収される。
体との決定的な違い：基底が取れないことがある（ $\mathbb Z/n$ はねじれ元をもち基底なし）。係数の割り算が効かないことの帰結で、加群論の繊細さの源。
加群の統一力が、後の構造定理で有限アーベル群の分類とジョルダン標準形を同時に生む。次章では、部分加群・剰余加群・準同型定理——環論と平行する基本の道具を整えます。

次章では、部分加群・剰余加群と準同型定理（同型定理）を、群論・環論と平行に整備します。

第1章 加群とは