⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第2章 部分加群・剰余加群・準同型定理

群論・環論と同じ道具を、加群でも

群論で「部分群 → 正規部分群で割る → 準同型定理」、環論で「部分環 → イデアルで 割る → 準同型定理」を作りました。加群でもまったく同じ道具立てが、しかもより素直に成り立ちます。加群は アーベル群なので「正規性」の心配がなく、どんな部分加群でも割れるからです。

この章の道具——部分加群・剰余加群・準同型・同型定理——は、以降のすべての基礎です。群・環で身につけた 「割って商を作り、像を商と同一視する」型が、加群でそっくり再現されるのを確認しましょう。

部分加群で割って剰余加群を作り、準同型定理で「像 ≅ 商」を言う。群論・環論と平行、しかも正規性の心配がない。

部分加群と剰余加群

定義 部分加群・剰余加群

RR 加群 MM の部分集合 NN が、和とスカラー倍で閉じている（x,y∈N,r∈R⇒x+y∈N, rx∈Nx,y\in N,r\in R\Rightarrow x+y\in N,\ rx\in N）とき NN を部分加群という。このとき剰余アーベル群 M/N={x+N}M/N=\{x+N\} にスカラー倍 r(x+N)=rx+Nr(x+N)=rx+N を 入れたものは RR 加群になり、剰余加群という。

剰余加群 M/NM/N が well-defined なのは、NN が部分加群（スカラー倍で閉じる）だから——x−x′∈Nx-x'\in N なら rx−rx′=r(x−x′)∈Nrx-rx'=r(x-x')\in N でスカラー倍が代表元によらない。群論では「正規部分群でないと商が 作れない」と苦労しましたが、加群はアーベル群なのですべての部分加群で割れます。ここが加群のありがたい点。

例 部分加群・剰余加群の例

  • R=ZR=\mathbb Z、M=ZM=\mathbb Z：部分加群は nZn\mathbb Z、剰余は Z/nZ\mathbb Z/n\mathbb Z（第1章）。
  • R=K[x]R=K[x]、M=K[x]M=K[x]：部分加群はイデアル (f)(f)、剰余は K[x]/(f)K[x]/(f)（ff を法とする多項式）。
  • ベクトル空間 VV（R=KR=K）：部分加群＝部分空間、剰余加群＝商空間 V/WV/W。
  • 環 RR 自身の部分加群＝イデアル。加群の部分加群がイデアルを一般化する。

準同型と準同型定理

加群の間の「良い写像」は、和とスカラー倍を保つもの。準同型定理（第一同型定理）は、群・環と一字一句同じ 形で成り立ちます。

定義 加群準同型

RR 加群の間の写像 f:M→Nf:M\to N が準同型（RR 線形）であるとは、f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y) かつ f(rx)=rf(x)f(rx)=rf(x)。核 ker⁡f={x:f(x)=0}\ker f=\{x:f(x)=0\} と像 im⁡f=f(M)\operatorname{im}f=f(M) はともに部分加群。

定理 準同型定理（第一同型定理）

加群準同型 f:M→Nf:M\to N に対し

M/ker⁡f ≅ im⁡f.M/\ker f\ \cong\ \operatorname{im}f.

「像は、核で割った商と同じ」。さらに第二・第三同型定理も群・環と同形に成り立つ。

証明

fˉ:M/ker⁡f→im⁡f, x+ker⁡f↦f(x)\bar f:M/\ker f\to\operatorname{im}f,\ x+\ker f\mapsto f(x) は well-defined（x−x′∈ker⁡f⇒f(x)=f(x′)x-x'\in\ker f\Rightarrow f(x)=f(x')）で、 和・スカラー倍を保ち、全単射（核が潰れて単射、像へ全射）。∎

これは群論の準同型定理・環論の準同型定理と完全に平行です。「準同型 → 核で 割る → 像と同型」という型は、代数のあらゆる場面で繰り返される普遍のパターン（圏論の アーベル圏で統一的に語られる）。加群では、線形写像 ff の核が「消える方向」、像が「届く範囲」、商 M/ker⁡fM/\ker f が 「消える方向を潰した本体」——線形代数の階数・退化次数の定理（dim⁡M=dim⁡ker⁡f+dim⁡im⁡f\dim M=\dim\ker f+\dim\operatorname{im}f）の 一般化にもなっています。

生成される部分加群

部分加群を「元から作る」方法。ベクトル空間の張る空間（span）の加群版です。有限個で生成できるかどうかが、 以降の構造論（第4章以降）の分かれ目になります。

定義 生成・有限生成

MM の部分集合 SS が生成する部分加群を、SS を含む最小の部分加群

⟨S⟩={∑irisi:ri∈R, si∈S (有限和)}\langle S\rangle=\Big\{\textstyle\sum_i r_i s_i : r_i\in R,\ s_i\in S\ (\text{有限和})\Big\}

とする。M=⟨S⟩M=\langle S\rangle かつ SS が有限のとき、MM を有限生成という。

「有限個の元 s1,…,sks_1,\dots,s_k のスカラー倍の和ですべてが書ける」のが有限生成。ベクトル空間なら有限生成＝ 有限次元ですが、加群では有限生成でも「基底」があるとは限りません（第1章のねじれ）。 有限生成加群こそが、第6章の構造定理（PID上）の対象になります。

注意 ネーター加群——生成が有限で終わる

部分加群がすべて有限生成である加群をネーター加群という（環論のネーター環の加群版、 部分加群の昇鎖が止まる）。ネーター環 RR 上の有限生成加群はネーター——だから「無限に生成元を足し続ける」 ことがなく、構造論がきれいに有限で終わる。環論のヒルベルト基底定理が、加群の有限性を支える。 代数幾何・可換環論で加群の有限性が効くのは、この土台があるから。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 加群はどんな部分加群でも割れる。 アーベル群なので正規性の心配がない（群論と違う）。剰余加群がいつでも 作れる。
  • 準同型定理は群・環と同形。 M/ker⁡f≅im⁡fM/\ker f\cong\operatorname{im}f。線形代数の階数定理の一般化でもある。核＝消える 方向、像＝届く範囲。
  • 有限生成 ≠ 基底をもつ。 有限個で生成できても一次独立とは限らない（ねじれ）。ベクトル空間の「有限次元」とは 違う。
  • 部分加群はイデアルの一般化。 環自身の部分加群がイデアル。加群の言葉がイデアル論を包む。

この章のまとめ

  • 部分加群（和・スカラー倍で閉じる）で割って剰余加群 M/NM/N を作る。加群はアーベル群なのでどんな部分加群でも割れる（正規性の心配なし）。
  • 準同型定理 M/ker⁡f≅im⁡fM/\ker f\cong\operatorname{im}f（群・環と同形、線形代数の階数定理の一般化）。第二・第三同型定理も成り立つ。
  • 有限生成＝有限個の元のスカラー倍の和で全体が書ける。基底をもつとは限らない（ねじれ）。ネーター環上では有限性がきれいに閉じる。
  • 道具が整った。次章では、基底をもつ最も素直な加群——自由加群と直和・普遍性を扱い、「基底が取れる世界」を確認します。

次章では、直和・直積、自由加群と基底、そして自由加群の普遍性（写像が生成元の行き先で決まる）を扱います。