第5章スミス標準形

行列を対角化して、加群を読む

前章で、有限生成加群は表示行列 $A$ の余核 $M\cong\operatorname{coker}(A)$ で書け、行/列基本変形で余核が変わらないと見ました。ならば戦略は明快です—— $A$ を、いちばん簡単な形（対角形）に変形すれば、加群の構造が一目で読める。その対角形がスミス標準形。この章は、構造定理の「計算の中身」を、実際に手を動かして体感します。

鍵は係数環がPID（単項イデアル整域、環論： $\mathbb Z$ や $K[x]$ のように、すべてのイデアルが一つの元で生成される）であること。PIDでは「ユークリッドの互除法」的な操作で行列を対角化でき、対角成分がきれいに割り切り合う（ $d_1|d_2|\cdots$ ）形にできます。

PID上の行列は、行/列基本変形でスミス標準形（対角 $d_1|d_2|\cdots$ ）にできる。対角成分＝単因子が加群の構造を読ませる。

スミス標準形の定理

定理スミス標準形

$R$ をPID、 $A$ を $R$ 成分の $n\times m$ 行列とする。可逆行列 $P$ （ $n\times n$ ）、 $Q$ （ $m\times m$ ）が存在して

PAQ=\operatorname{diag}(d_1,d_2,\dots,d_r,0,\dots,0),\qquad d_1\mid d_2\mid\cdots\mid d_r\ (\ne0)

の対角形（スミス標準形）になる。 $d_1,\dots,d_r$ （単元倍を除いて一意）を $A$ の単因子という。

$P,Q$ が可逆＝行/列基本変形の積なので、余核 $\operatorname{coker}(A)$ は不変（前章）。だから

M\cong\operatorname{coker}(A)\cong\operatorname{coker}(PAQ)=R/(d_1)\oplus\cdots\oplus R/(d_r)\oplus R^{n-r}.

対角形の余核は、対角成分ごとの巡回加群の直和——各 $d_i$ が $R/(d_i)$ を、対角の $0$ （や生成元が余った分）が自由部分 $R$ を与えます。行列を対角化するだけで、加群が巡回加群と自由加群の直和に分解されるのです。

手続きを体感する

スミス標準形は「手順が本質」です。ユークリッドの互除法のように、行と列の基本変形を繰り返して、いちばん小さい成分を軸に据え、他を消していく。下で、整数行列（ $\mathbb Z$ 加群の表示行列）を段階的に対角化してみましょう。

関係行列 A

「次のステップ」で、行/列の基本変形が一つずつ進みます。小さい成分を軸（赤）に持ってきて、同じ行・列の他の成分を互除法で消す——これを繰り返すと対角形に落ち着き、対角成分が単因子

d_1|d_2|\cdots

。完了すると、その加群

\mathbb Z^n/\operatorname{im}(A)

が

\bigoplus\mathbb Z/d_i\ (\oplus\ \mathbb Z^{\text{自由}})

に分解されて表示されます。行列の対角化が、そのまま加群の分類になっているのが見て取れます。

d_1|d_2|\cdots

という割り切りの連鎖（軸の整除性を保つ操作の帰結）が、単因子形の特徴です。

注意なぜPIDでうまくいくのか

スミス標準形が作れる鍵は「二つの成分 $a,b$ から $\gcd(a,b)$ を作れる」こと。PIDでは $\gcd(a,b)=(a,b)$ （イデアル $(a,b)$ が単項）で、ユークリッドの互除法的に $\gcd$ が行/列操作で実現できる。だから軸をどんどん小さく（ $\gcd$ へ）できて対角化が進む。PIDでない環（ $\mathbb Z[x]$ など）ではこれが破綻し、スミス標準形は一般に存在しない——構造定理がPIDに限られる理由。 $\mathbb Z$ と $K[x]$ （ともにユークリッド整域 ⊂ PID）が二大応用先。

単因子の一意性

対角化の手順は何通りもありますが、得られる単因子 $d_1,\dots,d_r$ は（単元倍を除いて）一意——加群に固有の不変量です。これが次章の構造定理の一意性を支えます。

定理単因子の一意性（小行列式による）

単因子 $d_1,\dots,d_r$ は、 $A$ の $k$ 次小行列式すべての最大公約数 $\Delta_k$ を使って

d_1\cdots d_k=\Delta_k\quad(\text{単元倍を除いて})

で決まる。 $\Delta_k$ は基本変形で不変だから、単因子は手順によらず一意。

$\Delta_k$ （ $k$ 次小行列式の $\gcd$ ）が行/列基本変形で変わらないことが、単因子の一意性の根拠です。だから「どう対角化しても、出てくる単因子は同じ」。この一意な単因子が、加群 $M$ の完全な不変量になります（第6章）——単因子が一致する加群は同型、しない加群は非同型。

つまずきポイント

注意よくある誤解

スミス標準形はPID上でのみ。 $\gcd$ を行/列操作で作れることが本質。PIDでない環では存在しない。 $\mathbb Z,K[x]$ が応用先。
単因子は $d_1|d_2|\cdots$ と割り切る。 軸の整除性を保つ操作の帰結。ただの対角化でなく、割り切りの連鎖に整える。
対角化の手順は非一意だが単因子は一意。 小行列式の $\gcd$ $\Delta_k$ が不変だから。加群の不変量。
対角の余核が直和分解。 $\operatorname{coker}(\operatorname{diag}(d_i))=\bigoplus R/(d_i)$ 。 $0$ が自由部分 $R$ 。

この章のまとめ

スミス標準形：PID上の行列は行/列基本変形で $\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_r,0,\dots)$ （ $d_1|d_2|\cdots$ ）に。 $P,Q$ 可逆なので余核は不変。対角の余核＝巡回加群の直和 $\bigoplus R/(d_i)\oplus R^{n-r}$ 。
単因子 $d_i$ は互除法（ $\gcd$ ）で軸を小さくして得る。PID（ $\gcd$ が行/列操作で作れる）でのみ可能。
単因子は一意（ $k$ 次小行列式の $\gcd$ $\Delta_k=d_1\cdots d_k$ が基本変形で不変）——加群の不変量。
行列の対角化が加群の分類になった。次章では、これを定理として述べる——PID上有限生成加群の構造定理（単因子形・初等因子形）。

次章では、スミス標準形を加群の言葉に翻訳し、PID上有限生成加群の構造定理（単因子形・初等因子形、一意性）を確立します。

第5章 スミス標準形