第6章 構造定理

加群論の頂点

前章のスミス標準形を加群の言葉に翻訳すると、加群論の頂点——PID上有限生成加群の構造定理——が得られます。 「どんな有限生成加群も、自由部分とねじれ部分（巡回加群）の直和に、ただ一通りに分解する」。この定理が、 第1章で予告した「加群論の統一力」を完成させます。次章で見るように、これ一つが有限 アーベル群の分類とジョルダン標準形を同時に生む。

分解には二つの表し方があります——割り切りの連鎖で書く単因子形と、素べきに分けて書く初等因子形。 どちらも同じ加群を表し、中国剰余定理で行き来できます。

構造定理：PID上の有限生成加群は $R^{\text{自由}}\oplus\bigoplus R/(d_i)$（単因子形）にただ一通りに分解する。加群論の頂点。

構造定理（単因子形）

証明は前二章の組み立てそのもの——表示行列 → スミス標準形 → 対角の余核が直和分解。自由部分 $R^s$（無限的、 ねじれなし）とねじれ部分 $\bigoplus R/(d_i)$（有限的、単因子で割り切れる巡回加群の連鎖）に、過不足なく 分かれます。$d_1|d_2|\cdots|d_k$ の割り切りの連鎖が単因子形の特徴で、この形が一意なので、単因子と自由階数が 加群を完全に分類する——同じデータなら同型、違えば非同型。

初等因子形——素べきに分ける

単因子 $d_i$ を素因数分解し、中国剰余定理で巡回加群を素べきの直和にばらすと、もう一つの表し方 ——初等因子形——になります。

単因子形は「$d_1|d_2|\cdots$」と一列に、初等因子形は「素 $p$ ごとに $p^{a}$ の塔」に整理します。どちらも同じ 加群の同じ情報を、違う見方で並べたもの。目的に応じて使い分けます——分類の一覧は初等因子形が見やすく、 最小の生成関係は単因子形が明快です。

つまずきポイント

この章のまとめ

• 構造定理（単因子形）：PID上の有限生成加群は $R^s\oplus\bigoplus R/(d_i)$（$d_1|d_2|\cdots$）に一意分解。自由階数 $s$ と単因子が完全不変量。証明は表示行列→スミス標準形。
• 初等因子形：単因子を素べきに分け（中国剰余定理）、$R/(p^a)$ たちの直和に。単因子形（割り切りの連鎖）と初等因子形（素ごとの塔）は同じ加群の二表現。
• この一つの定理が、$R=\mathbb Z$ で有限アーベル群の分類、$R=K[x]$ でジョルダン標準形を同時に生む——加群論の統一力の完成。
• 次章では、その「二つの顔」——構造定理を $\mathbb Z$ と $K[x]$ に適用して、有限生成アーベル群の分類とジョルダン標準形が同じものだと見ます。

次章では、構造定理を $\mathbb Z$ 上（有限生成アーベル群の分類）と $K[x]$ 上（ジョルダン標準形）に適用し、二大定理の統一を確認します。