第2章 加群と半単純性

前章で、非可換環は「加群への作用」を通して調べると述べました。この章では、その加群の言葉を整えます。鍵は三つ。 これ以上分けられない既約加群、それらの直和にきれいに分かれる完全可約な加群、そして「既約加群の間の 準同型は $0$ か同型しかない」というシューアの補題。この三つが、次章の半単純環と、第6章の表現論の 両方を支える土台になります。表現論で群について見たことを、一般の環へ広げる章です。

加群という舞台：環が作用する空間

加群論で学んだように、環 $R$ 上の加群 $M$ とは「$R$ が作用するアーベル群」——ベクトル空間の 係数を体から環に一般化したものです。非可換環論では、加群を「環 $R$ の作用を映すスクリーン」とみなします。 $R$ そのものの構造が直接には見えにくくても、$R$ が加群にどう作用するかを見れば、その素性が読める。とくに 群 $G$ の表現（$G$ が作用するベクトル空間）は、群環 $R=k[G]$ 上の加群にほかなりません——表現論と加群論が ここで一つになります。

既約加群：これ以上分けられない部品

環を単純部品に分解したいなら、まず加群の「部品」を定めます。それが既約加群です。

前章の単純環が「両側イデアルを持たない環」だったのと同じ精神です。既約加群は、環 $R$ の作用の 「最小単位」——表現論でいう既約表現そのもの。たとえば群 $G$ の既約表現は、群環 $k[G]$ 上の既約加群です。環の構造を調べる問題が、「どんな既約加群があるか」という問題に翻訳されます。

完全可約：既約の直和にきれいに分かれる

部品（既約加群）が定まったら、次は「加群がその部品の組み合わせにきれいに分かれるか」を問います。

「補部分加群がいつでも取れる」という条件が本質的です。一般の加群では、部分加群があってもそれを直和で 補えるとは限りません（加群論の非分裂拡大——たとえば $\mathbb Z$ 加群 $\mathbb Z$ の部分 $2\mathbb Z$ に補はない）。補が常に取れる加群だけが、既約部品へ完全に分解できる。この「完全に分解できる」性質が、 次章の半単純環の定義に直結します。

「和で書ければ、実は直和で書ける」「補がいつでも取れる」——これらが同値なのが完全可約性の要。証明は、 既約部分加群の和から極大な直和を選び、補の存在を使って全体を覆うことでなされます。

シューアの補題：既約の間の準同型は $0$ か同型

三つ目の鍵、シューアの補題は、既約加群の“剛さ”を述べる、短いが破壊力抜群の命題です。

証明の心は「核と像はともに部分加群だから、既約ならそれぞれ全か無」。この単純な観察が、絶大な帰結を生みます。 既約加群は、恒等（のスカラー倍）以外に自分をいじる方法を持たない——この剛さが、第4章のウェダーバーン 分解で「各ブロックが斜体上の行列環になる」ことの根拠になります。斜体 $\mathrm{End}_R(S)$ が、ちょうど ウェダーバーン分解に現れる斜体 $D_i$ です。

この章のまとめ

• 環は「作用する空間＝加群」を通して調べる。群の表現は群環 $k[G]$ 上の加群。
• 既約加群＝真の部分加群を持たない、作用の最小単位（＝既約表現）。
• 完全可約（半単純）加群＝既約加群の直和。同値に「どの部分加群にも補が取れる（分裂する）」。一般の加群 では補が取れないので、これは特別な良い性質。
• シューアの補題：既約加群の間の準同型は $0$ か同型。$\mathrm{End}_R(S)$ は斜体（代数閉体上有限次元なら スカラーのみ）。既約加群の剛さが、ウェダーバーン分解の斜体 $D_i$ を生む。

次章は、これらの加群の言葉で半単純環を定義します。「環が自分自身を（左）加群として見たとき完全可約」—— この一言が、非可換環の構造論の中心概念になります。