第3章 半単純環

前章で、加群の側で「完全可約（既約の直和にきれいに分かれる）」という良い性質を定めました。この章では、 その性質を環そのものに課します。「環 $R$ を、$R$ 自身が左から作用する加群とみなしたとき、完全可約である」 ——これが半単純環の定義です。一見ささやかなこの条件が、実は「$R$ 上のすべての加群が完全可約」 という強力な性質と同値で、次章のアルティン–ウェダーバーン分解へまっすぐつながります。

環を自分自身への加群として見る

環 $R$ は、それ自身が $R$ 加群です。$R$ の元 $r$ に対し「左から $r$ を掛ける」という作用を考えれば、$R$ は 左 $R$ 加群になる（これを正則加群という）。このとき、左 $R$ 加群としての部分加群は、ちょうど $R$ の左イデアルにあたります。だから「$R$ を加群として分解する」ことは「$R$ を左イデアルの直和に分ける」ことと 同じ。前章の完全可約性を、この正則加群に適用したのが半単純環です。

「環が、自分の中の“最小の部品（既約左イデアル）”に完全に分かれる」。第1章で予告した「単純部品への分解」を、 加群の言葉で正確に述べたものです。有限次元代数なら $R$ は有限次元ベクトル空間なので、この直和は有限個で 済みます（次章はこの有限次元・アルティン的な設定で進めます）。

決定的な同値：$R$ が半単純 ⟺ すべての加群が完全可約

半単純環の定義は「$R$ 自身」だけの条件でしたが、実はもっと強いことを含んでいます。

これが半単純環のありがたさです。「$R$ 自身が良い形」というだけの条件が、「$R$ 上のあらゆる加群（表現）が 既約の直和に分かれる」という全面的な良さに化ける。表現論でいえば「すべての表現が既約表現の直和に完全分解 される」——群の表現論のマシュケの定理（第6章）が、まさにこの現象です。半単純環の上では、加群の分類が 「既約加群のリストを作る」ことに帰着します。

単純環と行列環：部品の正体

半単純環を「既約部品の組み合わせ」に分解したとき、その部品にあたるのが単純環でした（第1章）。ここで、 単純環と行列環の関係をはっきりさせておきます。次章の分解の“答え”になる部分です。

$M_n(D)$ は「列ベクトル空間 $D^n$ への自然な作用」を持ち、この $D^n$ が唯一の既約加群。行列環は 「一つの既約加群 $D^n$ を $n$ 個束ねたもの」として自分自身を見ている、というわけです。第1章の三つの舞台 （行列・四元数・量子）が行き着く先が、まさにこの $M_n(D)$。次章は逆に、「任意の半単純環は、こうした行列環の 直積に必ずなる」ことを示します。

この章のまとめ

• 半単純環＝正則加群（自分自身を左加群とみたもの）が完全可約、すなわち既約左イデアルの直和に分かれる環。
• 決定的な同値：$R$ が半単純 ⟺ すべての $R$ 加群が完全可約 ⟺ すべての短完全列が分裂。「$R$ 自身が良い」 が「あらゆる表現が既約の直和」に化ける。
• 部品の正体：斜体上の全行列環 $M_n(D)$ は単純かつ半単純で、既約加群は列ベクトル空間 $D^n$ ただ一つ。 自分自身を $n$ 個の既約左イデアルの直和として見る。
• 半単純環は単純環（$M_n(D)$）の直積になる——次章のアルティン–ウェダーバーンの予告。

次章は、いよいよこの分野前半の金字塔、アルティン–ウェダーバーンの定理。半単純環が斜体上の行列環の直積に 「必ず」分解することを証明し、群環の具体例を装置で確かめます。