第4章 アルティン–ウェダーバーンの定理

いよいよ非可換環論前半の金字塔です。前章で「半単純環は既約左イデアルの直和」と分かりました。この定理は、 その分解を環の直積の言葉で完全に書き下します——半単純環は、必ず斜体上の全行列環の直積になる。 複雑に見える非可換代数が、行列環という単純部品へ一意に分解される。可換環論の素因数分解に相当する、 非可換環の完全な構造定理です。証明の道具は、前章までに揃えたシューアの補題と完全可約性だけ。

主定理：半単純環は行列環の直積

主張の破壊力を味わってください。「半単純」というだけで、環の形が行列環の直積に完全に決まる。残る自由度は 「いくつのブロックがあり（$r$）、各ブロックの大きさ（$n_i$）と係数の斜体（$D_i$）は何か」という有限個の データだけ。非可換環の分類が、この $(r; n_i, D_i)$ を求める問題に帰着します。可換環論で素イデアルを求めたのに 相当する、構造の完全な記述です。

証明の骨格：タイプごとに束ね、シューアで行列環に

証明は三段で進みます。前章までの道具がどう働くかを追いましょう。

証明の心臓は**(2) と (3) のシューアの補題**です。「タイプの違う既約の間は $0$」がブロック対角化（直積分解）を 生み、「同じ既約の自己準同型は斜体」が各ブロックを行列環にする。前章までに用意した二つの命題が、そのまま 定理の二本の柱になっています。

装置で見る：群環の分解

いちばん重要な応用が群環 $\mathbb C[G]$ です。有限群 $G$ に対し $\mathbb C[G]$ は半単純（マシュケの定理、 第6章）なので、アルティン–ウェダーバーンが適用でき、$\mathbb C$ が代数閉体ゆえ斜体は $\mathbb C$ だけ： $\mathbb C[G]\cong M_{d_1}(\mathbb C)\times M_{d_2}(\mathbb C)\times\cdots\times M_{d_r}(\mathbb C).$ 下の装置で、群を選んでこの分解を見てください。次元の勘定 $\dim\mathbb C[G]=|G|$ から、重要な等式が出ます。

各ブロック $M_{d_i}(\mathbb C)$ は $d_i^2$ 次元。全体の次元が $|G|$ だから、 $\boxed{\ d_1^2+d_2^2+\cdots+d_r^2=|G|\ }$ ——既約表現の次元の二乗和が群の位数に等しい。$S_3$ なら $1^2+1^2+2^2=6$、$Q_8$ なら $1+1+1+1+2^2=8$。 装置で確かめられるこの等式は、表現論で指標の直交関係から導いた公式そのもの。 アルティン–ウェダーバーンは、その表現論的事実の構造的な理由を与えているのです。ブロックの個数 $r$ が 既約表現の個数（＝共役類の個数）に一致することも、この分解から読めます。

この章のまとめ

• アルティン–ウェダーバーンの定理：半単純環は $M_{n_1}(D_1)\times\cdots\times M_{n_r}(D_r)$（斜体上の 行列環の直積）に一意分解。非可換環の完全な構造定理。
• 証明は三段：既約左イデアルをタイプ分け → シューアで「異タイプ間は $0$」から直積分解 → 「同タイプの自己 準同型は斜体」から各ブロックが行列環。シューアの補題が二本の柱。
• 群環 $\mathbb C[G]\cong\prod M_{d_i}(\mathbb C)$、次元勘定から $\sum d_i^2=|G|$（既約次元の二乗和＝位数）。 表現論の公式の構造的理由。$\mathbb R$ 上では四元数斜体 $\mathbb H$ も現れる。

次章は、「半単純でない環」も視野に入れ、半単純性の障害を測る量——ジャコブソン根基を導入します。 根基を潰せば半単純になる、という形で、一般の環をウェダーバーンの世界へ引き寄せます。