⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第7章 リー環とは

ここから後半、まったく別の非可換代数——リー環に入ります。リー環は普通の掛け算を持たず、代わりに 「括弧積 [X,Y][X,Y]」という反対称な演算を持ちます。奇妙に見えますが、これは自然に現れます。連続的な対称性 （回転・並進などのリー群）を単位元のところで**線形化（微分）**すると、ちょうどリー環が 立ち現れるのです。括弧積は「無限小の非可換性」を測る。この章では、リー環の定義と基本例、そして自分自身への 作用＝随伴表現までを整えます。

なぜ括弧積か：非可換性を微分する

リー群で見たことを思い出します。回転のような連続対称性は、単位元の近くで g≈I+εXg\approx I+\varepsilon X（XX は接ベクトル）と線形近似できました。二つの対称性の非可換性 ghg−1h−1ghg^{-1}h^{-1} を ε\varepsilon の二次まで展開すると、主要項に XY−YXXY-YX が現れる——「順序を入れ替えたときの ずれ」が、無限小のレベルでは XY−YXXY-YX で測られるのです。これを括弧積と呼びます。行列で書けば [X,Y]=XY−YX[X,Y]=XY-YX（交換子）。可換なら 00、非可換ほど大きい。リー群の非可換性を、その接空間（リー環）の 括弧積が記録します。

定義 リー環

体 kk 上のベクトル空間 g\mathfrak g に、双線形な積 [ ⋅ ,⋅ ] ⁣:g×g→g[\,\cdot\,,\cdot\,]\colon\mathfrak g\times\mathfrak g\to\mathfrak g （括弧積）が与えられ、次を満たすとき g\mathfrak g をリー環という：

  1. 反対称性：[X,X]=0[X,X]=0（ゆえに [X,Y]=−[Y,X][X,Y]=-[Y,X]）、
  2. ヤコビ恒等式：[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0。

普通の環の結合律 (XY)Z=X(YZ)(XY)Z=X(YZ) の代わりに、リー環にはヤコビ恒等式があります。これは 「括弧を取る操作 adX=[X, ⋅ ]\mathrm{ad}_X=[X,\,\cdot\,] が、括弧積について微分（ライプニッツ則）のように振る舞う」ことの 言い換え——adX[Y,Z]=[adXY,Z]+[Y,adXZ]\mathrm{ad}_X[Y,Z]=[\mathrm{ad}_XY,Z]+[Y,\mathrm{ad}_XZ]。結合律を捨てる代わりに、 「括弧を取る＝微分」という構造をヤコビ恒等式が保証します。行列の交換子 [X,Y]=XY−YX[X,Y]=XY-YX は、実際に反対称性と ヤコビ恒等式を満たします（直接計算で確認できる）。

基本例：古典リー環

行列の交換子から、重要なリー環が一斉に得られます。リー群の古典群を線形化したものです。

定義 古典リー環

n×nn\times n 行列に交換子 [X,Y]=XY−YX[X,Y]=XY-YX を入れたものが一般線形リー環 gln\mathfrak{gl}_n。その部分：

  • sln={X:tr X=0}\mathfrak{sl}_n=\{X:\mathrm{tr}\,X=0\}（跡 00）——特殊線形リー環。SLn\mathrm{SL}_n（det⁡=1\det=1）の線形化。
  • son={X:X⊤=−X}\mathfrak{so}_n=\{X:X^\top=-X\}（反対称）——直交リー環。SOn\mathrm{SO}_n（回転群）の線形化。
  • un={X:X∗=−X}\mathfrak{u}_n=\{X:X^*=-X\}（反エルミート）——ユニタリリー環。Un\mathrm{U}_n の線形化。

条件が線形（跡 00・反対称）なので、これらはベクトル空間。しかも交換子で閉じます（たとえば跡 00 の行列 どうしの交換子は跡 00：tr[X,Y]=tr(XY)−tr(YX)=0\mathrm{tr}[X,Y]=\mathrm{tr}(XY)-\mathrm{tr}(YX)=0）。リー群の 「det⁡=1\det=1」「直交」という非線形な条件が、リー環では「跡 00」「反対称」という線形な条件に化ける—— これが線形化のご利益で、群を調べる難問が、線形代数で扱えるリー環の問題に落ちます。最小の非自明な例 sl2\mathfrak{sl}_2（跡 00 の 2×22\times2 行列、33 次元）は、後半の主役です。

随伴表現：リー環が自分自身に作用する

リー環にも表現（作用する空間）があります。最も基本的なのが、リー環が自分自身に括弧積で作用する 随伴表現です。

定義 随伴表現

リー環 g\mathfrak g の各元 XX に、線形写像 adX ⁣:g→g,adX(Y)=[X,Y]\mathrm{ad}_X\colon\mathfrak g\to\mathfrak g,\qquad \mathrm{ad}_X(Y)=[X,Y] を対応させる。X↦adXX\mapsto\mathrm{ad}_X は g\mathfrak g から gl(g)\mathfrak{gl}(\mathfrak g) への準同型 （ad[X,Y]=[adX,adY]\mathrm{ad}_{[X,Y]}=[\mathrm{ad}_X,\mathrm{ad}_Y]、これはヤコビ恒等式の言い換え）で、随伴表現 という。

随伴表現は、リー環を「自分の括弧作用を通して自分自身を見る」鏡です。adX\mathrm{ad}_X が gl(g)\mathfrak{gl}(\mathfrak g) への準同型になる、という事実の証明がまさにヤコビ恒等式そのもの——ヤコビ恒等式は 「ad\mathrm{ad} が表現である」ことと同義でした。随伴表現は後半の全編で主役を務めます。第9章のキリング形式は ad\mathrm{ad} の跡で定義され、第10章のルート分解は ad\mathrm{ad} の固有空間分解です。リー環の構造は、 ad\mathrm{ad} という自己作用の中に符号化されているのです。

注意 リー環と結合環の橋：普遍展開環

リー環の括弧積 [X,Y][X,Y] は、実は結合的な積 XYXY の交換子 XY−YXXY-YX として「実現」できる。任意のリー環 g\mathfrak g に対し、[X,Y]=XY−YX[X,Y]=XY-YX が成り立つ最小の結合代数 U(g)U(\mathfrak g)（普遍展開環）が作れる （ポアンカレ–バーコフ–ウィットの定理）。これにより、リー環の表現論を結合環（U(g)U(\mathfrak g)）の加群論として 扱える——前半の非可換環論と後半のリー環論が、この普遍展開環でつながる（第12章）。

注意 つまずきポイント

  • リー環は結合的でない。[X,Y][X,Y] に「結合律」はなく、代わりにヤコビ恒等式。[[X,Y],Z]≠[X,[Y,Z]][[X,Y],Z]\neq[X,[Y,Z]] が 普通。ヤコビは「ad\mathrm{ad} が微分／表現」を保証するもの。
  • 括弧積 ＝ 無限小の非可換性。リー群の ghg−1h−1ghg^{-1}h^{-1} の二次項が [X,Y][X,Y]。可換群のリー環は [X,Y]≡0[X,Y]\equiv0（アーベルリー環）。
  • 線形条件になるのがご利益。群の非線形条件（det⁡=1\det=1・直交）が、リー環では線形条件（跡 00・反対称）に。 だから線形代数で構造解析ができる。

この章のまとめ

  • リー環＝括弧積 [ ⋅ ,⋅ ][\,\cdot\,,\cdot\,]（反対称・ヤコビ恒等式）を持つベクトル空間。連続対称性（リー群）を 単位元で線形化して現れ、括弧積は無限小の非可換性 XY−YXXY-YX を測る。
  • 古典例 gln⊃sln\mathfrak{gl}_n\supset\mathfrak{sl}_n（跡 00）、son\mathfrak{so}_n（反対称）、un\mathfrak u_n（反エルミート）。 群の非線形条件がリー環では線形条件に化ける。
  • 随伴表現 adX=[X, ⋅ ]\mathrm{ad}_X=[X,\,\cdot\,]：リー環が自分自身に括弧で作用する鏡。ad\mathrm{ad} が準同型なのが ヤコビ恒等式。キリング形式・ルート分解はすべて ad\mathrm{ad} から作られる。
  • 普遍展開環 U(g)U(\mathfrak g) が、リー環を結合環に埋め込み、前半の非可換環論と橋渡しする。

次章から、リー環の構造論を組み立てます。まずは「どれだけ可換に近いか／遠いか」を測る階層——可解リー環・ べき零リー環を導入し、エンゲルとリーの定理でその構造を明らかにします。