第8章可解・べき零リー環

リー環の構造論は、まず「両極端」を押さえることから始まります。一方の極はアーベル（ $[X,Y]\equiv0$ 、完全に可換）、もう一方の極は次章の半単純（可換性が徹底的に壊れている）。その間を橋渡しするのが、「どれだけ可換に近いか」を段階的に測る可解・べき零という概念です。括弧を繰り返し取って $0$ に達するか ——その達し方で階層を作ります。エンゲルとリーの定理が、この抽象的な条件に「行列を同時に上三角化できる」という具体的な姿を与えます。

二つの降下列：可解性とべき零性

「可換からの遠さ」を測るのに、括弧積を繰り返し取った部分空間の列を作ります。二種類の作り方があります。

定義導来列とべき零列

リー環 $\mathfrak g$ に対し、

導来列： $\mathfrak g^{(0)}=\mathfrak g$ 、 $\mathfrak g^{(k+1)}=[\mathfrak g^{(k)},\mathfrak g^{(k)}]$ （前段どうしの括弧）。これが有限段で $0$ に達するとき $\mathfrak g$ は可解。
降中心列： $\mathfrak g^{1}=\mathfrak g$ 、 $\mathfrak g^{k+1}=[\mathfrak g,\mathfrak g^{k}]$ （全体との括弧）。これが有限段で $0$ に達するとき $\mathfrak g$ はべき零。

どちらも「括弧を取ると小さくなり、いつか $0$ になる」という条件ですが、取り方が違います。べき零は毎回 $\mathfrak g$ 全体との括弧（きつい条件）、可解は前段どうしの括弧（緩い条件）。だからべき零 ⇒ 可解（逆は偽）。アーベル（ $[\mathfrak g,\mathfrak g]=0$ ）は最も強く、一段でべき零。直感的には、可換からの距離を「括弧を何回取れば消えるか」で測っていて、べき零がより可換に近い階層です。

例上三角行列たち

$n\times n$ 上三角行列のリー環 $\mathfrak b$ （対角を含む）は可解。狭義上三角（対角も $0$ ）のリー環 $\mathfrak n$ はべき零（括弧を取るたび非零成分が対角から遠ざかり、いつか消える）。この二つが、可解・べき零の典型像。次の定理は「可解・べき零なリー環は、本質的にこの形しかない」と言う。

エンゲルの定理：べき零なら同時に狭義上三角化

抽象的な「べき零」に具体的な姿を与えるのがエンゲルの定理です。鍵は随伴作用 $\mathrm{ad}_X$ の冪零性です。

定理エンゲルの定理

リー環 $\mathfrak g$ について、すべての $X\in\mathfrak g$ で $\mathrm{ad}_X$ が冪零（ある $m$ で $(\mathrm{ad}_X)^m=0$ ） $\Leftrightarrow$ $\mathfrak g$ はべき零。さらにこのとき、 $\mathfrak g$ を行列で表現すれば、適当な基底ですべての元が同時に狭義上三角（対角も $0$ ）になる。

「各元が冪零に作用する」という局所的な条件が、「全体がべき零＝同時に狭義上三角化できる」という大域的な構造に化ける。証明の心は「冪零に作用する元たちには共通の固有ベクトル（固有値 $0$ ）がある」ことを示し、それで基底を一段ずつ削っていくこと。狭義上三角行列は対角が $0$ ＝冪零なので、エンゲルは「べき零リー環＝狭義上三角行列のリー環（の部分）」という具体像を与えます。

リーの定理：可解なら同時に上三角化

可解リー環にも、同様の具体像があります。今度は狭義でなく普通の上三角化です（代数閉体・標数 $0$ が必要）。

定理リーの定理

代数閉体（標数 $0$ ）上の可解リー環 $\mathfrak g$ の任意の（有限次元）表現は、適当な基底ですべての元が同時に上三角になる。とくに $\mathfrak g$ の元は共通の固有ベクトルを持つ。

証明

（骨子）可解性についての帰納法。 $[\mathfrak g,\mathfrak g]\subsetneq\mathfrak g$ なので、余次元 $1$ のイデアル $\mathfrak h$ が取れる。帰納法で $\mathfrak h$ の共通固有ベクトル（固有値は線形形式 $\lambda$ ）が存在する。その固有空間が $\mathfrak g$ 全体の作用で保たれることを示し（ここで標数 $0$ ・代数閉が効く）、残りの一方向の元の固有ベクトルを取れば、 $\mathfrak g$ 全体の共通固有ベクトルが得られる。これを繰り返して同時上三角化。

エンゲル（べき零＝狭義上三角）とリー（可解＝上三角）は、対角成分の違い（ $0$ か否か）で対をなします。可解リー環は「上三角」、その中でべき零は「対角も $0$ 」。可換からの遠さの階層が、行列の三角化の“深さ”として目に見える形になりました。この二つの定理が、次章で半単純リー環を「可解でないもの」として切り出す土台になります。

注意根基と半単純への布石

任意のリー環 $\mathfrak g$ には、可解イデアルの中で最大のもの——根基 $\mathrm{rad}(\mathfrak g)$ ——が一意に存在する（可換環論・非可換環のジャコブソン根基と同じ「障害を集める」発想）。 $\mathrm{rad}(\mathfrak g)=0$ のとき $\mathfrak g$ を半単純という（次章）。そして $\mathfrak g/\mathrm{rad}(\mathfrak g)$ は半単純 ——レヴィ分解 $\mathfrak g=\mathrm{rad}(\mathfrak g)\rtimes(\text{半単純})$ で、任意のリー環が「可解部分＋半単純部分」に分かれる。第5章で環を「根基＋半単純」に分けたのと同じ構図。

注意つまずきポイント

可解とべき零の違いは括弧の取り方。べき零は毎回全体と括弧（ $[\mathfrak g,\mathfrak g^k]$ ）、可解は前段どうし（ $[\mathfrak g^{(k)},\mathfrak g^{(k)}]$ ）。べき零 ⇒ 可解、逆は偽（上三角は可解だがべき零でない）。
エンゲルは「 $\mathrm{ad}$ が冪零」から。元そのものが冪零行列である必要はなく、随伴作用 $\mathrm{ad}_X$ が冪零であることが条件。抽象的なべき零性と行列の狭義上三角性を結ぶ。
リーの定理は代数閉・標数 0 が必須。共通固有ベクトルを取るのに代数閉（固有値の存在）、固有空間の保存に標数 $0$ が要る。実数体や正標数では形が変わる。

この章のまとめ

可換からの遠さを、括弧を繰り返す降下列で測る。可解（導来列 $\mathfrak g^{(k)}$ が $0$ に）・ べき零（降中心列 $\mathfrak g^k$ が $0$ に）。べき零 ⇒ 可解、アーベルは最強。
エンゲルの定理：各 $\mathrm{ad}_X$ が冪零 ⟺ べき零 ⟺ 同時に狭義上三角化（対角も $0$ ）。
リーの定理：可解リー環の表現は同時に上三角化（代数閉・標数 $0$ ）。共通固有ベクトルの存在。
最大可解イデアル＝根基、根基 $0$ が半単純。レヴィ分解で任意のリー環が「可解＋半単純」に分かれる（環の「根基＋半単純」と同じ構図）。

次章は、いよいよ後半の主役半単純リー環。可解性の対極にあるこの環を、キリング形式という双線形形式で特徴づけ（カルタンの判定法）、その表現がすべて完全可約になること（ワイルの定理）を見ます。