⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第10章 波動方程式（双曲型）

熱方程式は角を一瞬でならし、エネルギーを減らし、時間を戻せませんでした。波動方程式 utt=Δuu_{tt}=\Delta u は、 その正反対です。エネルギーは減らず保存され、情報は無限速度でなく有限の速度で伝わり、初期の角は ならされずに特異性として運ばれる。時間反転もできます。同じ二階の PDE でも、型（双曲型）が違うと挙動は まるで別物——この対比が、PDE を型で分類する意味を教えてくれます。

ダランベールの公式：波は左右へ分かれて進む

一次元 utt=c2uxxu_{tt}=c^2 u_{xx} から直感を作ります。微分方程式で見たように、 作用素が ∂t2−c2∂x2=(∂t−c∂x)(∂t+c∂x)\partial_t^2-c^2\partial_x^2=(\partial_t-c\partial_x)(\partial_t+c\partial_x) と因数分解でき、解は

u(x,t)=F(x−ct)+G(x+ct)u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)

——右へ速さ cc で進む波と、左へ進む波の重ね合わせ。初期位置 u(x,0)=ϕu(x,0)=\phi、初期速度 ut(x,0)=ψu_t(x,0)=\psi から

u(x,t)=ϕ(x−ct)+ϕ(x+ct)2+12c∫x−ctx+ctψ(s) ds(ダランベール).u(x,t)=\frac{\phi(x-ct)+\phi(x+ct)}{2}+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)\,ds\quad(\text{ダランベール}).

ここで熱方程式との決定的な違いが見えます。ϕ\phi に角があれば、ϕ(x±ct)\phi(x\pm ct) にも角が残る。波動方程式は 初期の特異性を平滑化せず、そのまま速さ cc で運ぶだけ。滑らかさを注入する放物型と真逆です。

エネルギー保存：波は減衰しない

熱方程式では L2L^2 エネルギーが単調減少しました。波動方程式では、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和が 保存します。

定義 波動のエネルギー

E(t)=12∫Ω(ut2+∣∇u∣2)dx.E(t)=\frac12\int_\Omega\big(u_t^2+|\nabla u|^2\big)dx. 第一項が運動エネルギー、第二項が張力のポテンシャルエネルギー。

定理 エネルギー保存則

境界で 00（または全空間で減衰）の波動方程式 utt=Δuu_{tt}=\Delta u について E(t)E(t) は時間によらず一定。

証明

E′(t)=∫Ω(ututt+∇u⋅∇ut) dxE'(t)=\int_\Omega(u_t u_{tt}+\nabla u\cdot\nabla u_t)\,dx。第二項を部分積分すると −∫utΔu-\int u_t\Delta u（境界項は ut=0u_t=0 で消える）。よって E′(t)=∫ut(utt−Δu) dx=0E'(t)=\int u_t(u_{tt}-\Delta u)\,dx=0（方程式より）。ゆえに EE は一定。

「utu_t を掛けて積分し、部分積分する」——放物型でエネルギー減衰を出したのと同じ手筋（エネルギー法）ですが、 方程式が二階時間微分なので、結論が「減衰」でなく「保存」に変わります。この差が、波が永遠に振動し続ける （減衰しない）ことの数学的表現です。

エネルギー法から有限伝播速度へ

エネルギー保存の議論を「時空の円錐」に閉じ込めると、双曲型の最も特徴的な性質——有限伝播速度——が出ます。

定理 有限伝播速度・依存領域

波動方程式 utt=c2Δuu_{tt}=c^2\Delta u の点 (x0,t0)(x_0,t_0) での値は、初期時刻の依存領域 {∣x−x0∣≤ct0}\{|x-x_0|\le ct_0\} の中の 初期値だけで決まる。逆に、初期値が一点の近くだけ変化しても、その影響は速さ cc の光円錐の外には決して 届かない（影響領域は有限）。

証明

後退円錐 K={(x,t):∣x−x0∣≤c(t0−t), 0≤t≤t0}K=\{(x,t):|x-x_0|\le c(t_0-t),\ 0\le t\le t_0\} 上で局所エネルギー e(t)=12∫∣x−x0∣≤c(t0−t)(ut2+c2∣∇u∣2) dxe(t)=\frac12\int_{|x-x_0|\le c(t_0-t)}(u_t^2+c^2|\nabla u|^2)\,dx を考える。円錐の側面から入る流束を評価すると、 コーシー–シュワルツにより e′(t)≤0e'(t)\le0：円錐の中のエネルギーは増えない。よって底面（t=0t=0）でエネルギーが 00 なら 頂点でも 00、すなわち円錐外の初期値は頂点の値に影響しない。

これは熱方程式の無限伝播速度と好対照です。熱は瞬時に全空間へ届きましたが、波は光円錐の中しか伝わらない ——物理でいう「因果律」「光速度を超えて情報は伝わらない」の数学的な姿です。双曲型が相対論や電磁気の 方程式の型であるのは、この有限伝播速度ゆえです。

ホイヘンスの原理と次元の妙

波の伝わり方は空間次元で意外な違いを見せます。三次元では、点で起きた鋭い波（パルス）は薄い球殻となって 広がり、通り過ぎた後は完全に静まります（ホイヘンスの原理が成り立つ）。だから私たちは声を明瞭な音として 聞ける——残響が原理的に残らない。ところが偶数次元（たとえば二次元、水面波）では、波が過ぎた後も尾を引く （後効果が残る）。同じ波動方程式でも、次元のパリティが伝播の質を変える——三次元と一次元では鋭いパルスが そのまま伝わり、二次元では滲む、という現象です。

弱解とエネルギー空間

波動方程式の弱解は、時刻ごとに u(⋅,t)∈H01u(\cdot,t)\in H^1_0、ut(⋅,t)∈L2u_t(\cdot,t)\in L^2 という「エネルギー空間」の中で 定式化します。初期の角がそのまま伝わる以上、古典解を期待できないので、H1H^1 の枠組み（本分野の土台）が ここでも本質的に必要です。存在はエネルギー保存による評価（エネルギーが有界に留まる）と、時間離散化や 固有関数分解 u=∑kck(t)ϕku=\sum_k c_k(t)\phi_k（ck′′=−λkckc_k''=-\lambda_k c_k が各モードの振動を与える）で構成できます。 放物型の e−λkte^{-\lambda_k t}（減衰）に対し、双曲型は cos⁡(λkt)\cos(\sqrt{\lambda_k}t)（振動）——固有値が 「減衰率」か「振動数」かで、型の違いがモードのレベルに現れます。

注意 つまずきポイント

  • 平滑化しない＝滑らかさ要求が厳しい。放物型は初期値が荒くても救ってくれるが、双曲型は初期値の滑らかさが そのまま解の滑らかさになる。だから波動方程式では初期値を H1H^1 程度に取り、弱解で扱うのが自然。
  • エネルギー保存 ⇔ 時間反転可能。t→−tt\to-t で uttu_{tt} は不変。熱方程式（utu_t が符号を変える）が 時間反転で壊れるのと対照的。可逆な物理（力学・電磁気）が双曲型で書かれる理由。
  • 有限伝播速度はエネルギー法の産物。解の公式がなくても、局所エネルギーの単調性だけで因果円錐が出る ——「解を書かずに解を制御する」発展 PDE の精神が、双曲型でも貫かれている。

この章のまとめ

  • 波動方程式 utt=Δuu_{tt}=\Delta u は双曲型。一次元ではダランベールで左右に進む波の和。初期の角は 平滑化されずそのまま運ばれる。
  • エネルギー保存 E(t)=12∫(ut2+∣∇u∣2)=E(t)=\frac12\int(u_t^2+|\nabla u|^2)= 一定（エネルギー法：utu_t を掛けて部分積分）。 減衰する放物型と正反対。
  • 有限伝播速度：値は依存領域（光円錐）内の初期値だけで決まる。因果律の数学的表現。次元のパリティで ホイヘンスの原理の成否が変わる。
  • 弱解はエネルギー空間 u∈H01, ut∈L2u\in H^1_0,\ u_t\in L^2 で定式化。固有値は放物型では減衰率、双曲型では振動数。

放物型・双曲型と個別に見てきた時間発展を、次章で一つの抽象的な枠組みにまとめます。u′(t)=Au(t)u'(t)=Au(t) という 「無限次元の常微分方程式」と、その解を与える半群——ヒレ–吉田の定理が、熱も波も統一的に扱います。