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第9章 熱方程式（放物型）

いよいよ時間発展です。熱の広がりを記述する熱方程式 ut=Δuu_t=\Delta u は、放物型 PDE の代表選手。 楕円型が「もう落ち着いた平衡」を扱ったのに対し、放物型は「落ち着いていく過程」を扱います。この章の主役は 平滑化——どんなにギザギザな初期温度も、時間が少しでも経てば一瞬で C∞C^\infty にならされる、という劇的な性質です。 まずは目で見てみましょう。

熱方程式の平滑化を体感する

下の装置で、初期温度に段差（不連続）やスパイク（一点加熱）を選び、時刻 tt を動かしてください。t=0t=0 では 尖っていた形が、t>0t>0 になった瞬間に角も段差も消えてなめらかになります。

三つのことを確かめてください。(1) 平滑化：t>0t>0 で即座に滑らか。(2) 総熱量の保存：曲線の下の面積 （∫u\int u）は変わらない——熱は逃げも湧きもせず、ならされるだけ。(3) 平均への収束：時間が経つと全体が 一様な平均温度（青い点線）に落ち着く。この三つが放物型の顔です。なぜこうなるのか、順に解きほぐします。

熱核：一点の熱がガウス関数で広がる

前章の固有関数分解を思い出すと、u(x,t)=∑kck(0)e−λktϕk(x)u(x,t)=\sum_k c_k(0)e^{-\lambda_k t}\phi_k(x)——各モードが e−λkte^{-\lambda_k t} で 減衰しました。全空間 Rn\mathbb R^n ではこれがフーリエ変換になり、解を一つの積分核で書けます。

定義 熱核（基本解）

Φ(x,t)=1(4πt)n/2 e−∣x∣2/4t(t>0)\Phi(x,t)=\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}}\,e^{-|x|^2/4t}\qquad(t>0) を熱核という。Φt=ΔΦ\Phi_t=\Delta\Phi を満たし、t→0+t\to0^+ で δ0\delta_0 に収束する （一点に集中した初期熱への応答）。一般の初期値 u0u_0 に対する解は畳み込み u(x,t)=(Φ(⋅,t)∗u0)(x)=∫Rn1(4πt)n/2e−∣x−y∣2/4t u0(y) dy.u(x,t)=(\Phi(\cdot,t)*u_0)(x)=\int_{\mathbb R^n}\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}}e^{-|x-y|^2/4t}\,u_0(y)\,dy.

熱核は時刻 tt で標準偏差 2t\sqrt{2t} のガウス関数。フーリエで見ると、初期値の各振動数 ξ\xi 成分に e−∣ξ∣2te^{-|\xi|^2 t} を掛けることに対応します（Φ^(ξ,t)=e−∣ξ∣2t\widehat\Phi(\xi,t)=e^{-|\xi|^2 t}）。ξ\xi が大きい成分——細かい ギザギザ——ほど猛烈に速く消える。これが平滑化のからくりです。

平滑化：なぜ一瞬でなめらかになるのか

定理 放物型の平滑化

u0u_0 が単に有界（あるいは L2L^2）なだけでも、t>0t>0 での解 u(⋅,t)u(\cdot,t) は xx について C∞C^\infty （実は解析的）。初期の角・段差・特異性は t>0t>0 で瞬時に消える。

理由は畳み込みです。解は「C∞C^\infty の熱核」と初期値の畳み込み。畳み込みは滑らかな側の滑らかさを 受け継ぐので、u0u_0 がどんなに荒くても u(⋅,t)u(\cdot,t) は熱核の C∞C^\infty 性をもらう。 フーリエで言えば、e−∣ξ∣2te^{-|\xi|^2 t} が高振動を指数的に叩き潰し、どんな初期値も一瞬で滑らかな関数の集まりに 変えてしまう。第7章で見た「楕円型は解を右辺より二階滑らかにする」のさらに極端な版で、放物型は 滑らかさを無限に、しかも瞬時に注入します。

この平滑化には代償があります。時間を逆に回せない（不可逆性）。滑らかにならされた後の分布からは、元の 尖った初期値を復元できない（後ろ向きの熱方程式は破綻する）。放物型は時間の向きを持つ——コーヒーが冷めることは あっても、勝手に熱くなり戻らないのと同じ物理です。

最大値原理：熱は極端を作らない

放物型にも、楕円型と双子の最大値原理があります。

定理 放物型の最大値原理

有界領域で ut=Δuu_t=\Delta u を満たす uu の最大値・最小値は、初期時刻（t=0t=0）または空間境界で取られる （内部の時空では新たな極値を作らない）。

「熱は勝手に、初期値や境界より熱い点・冷たい点を作り出さない」。装置で最大値が単調に下がり最小値が上がって いったのは、これです。物理的には至極まっとう——熱いところは冷め、冷たいところは温まる方向にしか進まない。 証明は楕円型と同様、内部で極大に達すると Δu≤0\Delta u\le0 かつ ut≥0u_t\ge0 が矛盾する、という比較で行います。 最大値原理は、解の公式なしに解の値域と一意性・比較を保証する、放物型でも主力の道具です。

エネルギー減衰：落ち着く先は平衡

最後に、時間とともに解が「落ち着く」ことをエネルギーで見ます。

定理 エネルギー減衰

境界で 00（H01H^1_0）の熱方程式 ut=Δuu_t=\Delta u について、 ddt(12∫Ωu2 dx)=∫Ωu ut dx=∫Ωu Δu dx=−∫Ω∣∇u∣2 dx≤0.\frac{d}{dt}\Big(\frac12\int_\Omega u^2\,dx\Big)=\int_\Omega u\,u_t\,dx=\int_\Omega u\,\Delta u\,dx=-\int_\Omega|\nabla u|^2\,dx\le0. L2L^2 ノルムは単調に減少し、ポアンカレ不等式と合わせると ∥u(⋅,t)∥L2≤e−λ1t∥u0∥L2\|u(\cdot,t)\|_{L^2}\le e^{-\lambda_1 t}\|u_0\|_{L^2}、 指数的に平衡（00）へ減衰する。

計算の心は「∫u Δu=−∫∣∇u∣2\int u\,\Delta u=-\int|\nabla u|^2」（部分積分）。エネルギーの減り方が、まさに前章のディリクレ エネルギー ∫∣∇u∣2\int|\nabla u|^2 で測られる。λ1\lambda_1（最小固有値）は最もゆっくり減るモードの減衰率で、 これが平衡到達の速さを決めます。放物型は「ディリクレエネルギーを下る流れ」——第4章の装置の緩和が、 実は熱方程式の離散版だったことがここで腑に落ちます。

注意 つまずきポイント

  • 平滑化と不可逆性は表裏一体。前向きには一瞬で滑らかにする力は、後ろ向きには情報を復元できない ことを意味する。放物型が時間の向きを持つのはこのため。
  • 「無限伝播速度」：熱核はどんなに遠い点でも t>0t>0 で（指数的に小さいが）正の値を持つ。一点の熱が 瞬時に全空間へ届く——物理的には非現実的だが、拡散モデルの数学的特徴。次章の波動（有限伝播）と好対照。
  • 総熱量の保存と L2L^2 減衰は別物。∫u\int u（一次の量）は境界がなければ保存。∫u2\int u^2（エネルギー）は 境界で 00 なら減衰。装置では両方が同時に見える。

この章のまとめ

  • 熱方程式 ut=Δuu_t=\Delta u の解は熱核との畳み込み u=Φ∗u0u=\Phi*u_0。熱核はガウス関数で、フーリエでは高振動を e−∣ξ∣2te^{-|\xi|^2t} で叩き潰す。
  • 平滑化：どんな初期形も t>0t>0 で瞬時に C∞C^\infty。畳み込みの平滑化効果。代償は不可逆性（時間を 戻せない）。
  • 最大値原理：熱は初期値・境界より極端な値を作らない。エネルギー減衰 ddt12∫u2=−∫∣∇u∣2≤0\frac{d}{dt}\frac12\int u^2 =-\int|\nabla u|^2\le0 で指数的に平衡へ。
  • 放物型は「ディリクレエネルギーを下る流れ」で、第4章の緩和装置の連続版。無限伝播速度が特徴。

次章は双曲型の代表、波動方程式。放物型と正反対に、波動は滑らかさを上げず、エネルギーを保存し、 情報を有限の速度で運びます。同じ二階 PDE でも、型が違えば挙動は正反対——その対比を味わいます。