第3章埋め込みとトレース

$H^1$ の関数は「値も傾きも $L^2$ でおとなしい」だけで、連続とすら限りません。では実際どれくらい素性が良いのか。この章では三つの道具を揃えます。埋め込み（ $H^1$ の関数は自動的にもっと良い性質を持つ）、 コンパクト性（近似列から収束する部分列を取り出せる）、トレース（境界での値を意味づける）。どれも存在証明で毎回のように使う、いわば作業台の工具です。

ソボレフ埋め込み：傾きを抑えると値も抑えられる

素朴な疑問から入りましょう。「 $\nabla u$ （傾き）が $L^2$ で小さいと、 $u$ 自身も何か良くなるか？」答えはイエスです。一次元で直感を作ります。 $u(x)-u(y)=\int_y^x u'\,dt$ なので、コーシー–シュワルツで $|u(x)-u(y)|\le|x-y|^{1/2}\big(\int|u'|^2\big)^{1/2}$ 。つまり 傾きが $L^2$ なら $u$ は自動的に連続（それも $1/2$ 次のヘルダー連続）。傾きの $L^2$ 情報が、値の連続性に化けた——これが埋め込みの原型です。

一般次元では、次元 $n$ と微分の階数の兼ね合いで結論が変わります。要点だけ述べます。

定理ソボレフ埋め込み定理（要点）

$\Omega\subset\mathbb R^n$ を素性の良い有界領域とする。

$n<2$ （一次元）や、より一般に $k>n/2$ のとき、 $H^k(\Omega)\hookrightarrow C^0(\overline\Omega)$ ：ソボレフ関数は連続関数（適当な代表元）になる。微分の階数が次元の半分を超えると滑らかさが「見えてくる」。
そうでないときも、 $H^1(\Omega)\hookrightarrow L^{p}(\Omega)$ が $p=\frac{2n}{n-2}$ （ $n\ge3$ ）まで成り立つ：傾きの二乗可積分性は、値のより高い可積分性に格上げされる。いずれも $\|u\|_{\text{右}}\le C\|u\|_{H^1}$ という不等式を伴う（連続な埋め込み）。

覚え方は「微分を積むほど、次元を食って滑らかさが顔を出す」。階数 $k$ が次元 $n$ の半分を超えれば連続、足りなければ「可積分性が上がる」というご褒美に留まる。 $n/2$ という境目が繰り返し現れます。

ポアンカレ不等式：境界で $0$ なら、傾きだけで大きさが決まる

存在証明で最も出番の多い不等式がこれです。

定理ポアンカレ不等式

有界領域 $\Omega$ 上、 $u\in H^1_0(\Omega)$ （境界で $0$ ）ならば、 $\Omega$ だけで決まる定数 $C_\Omega$ があって $\|u\|_{L^2(\Omega)}\le C_\Omega\,\|\nabla u\|_{L^2(\Omega)}.$

意味はこうです。「境界でゼロに固定されているなら、関数の大きさ（ $L^2$ ）は、傾きの大きさで抑えられる」。壁で $0$ に留められている以上、内部で大きな値を取るには急な傾きが要る、という直感。定数は $\Omega$ が大きいほど大きくなります（広い部屋ほど、緩い傾きでも高くなれる）。一次元 $\Omega=(0,\ell)$ なら $u(x)=\int_0^x u'$ からコーシー–シュワルツですぐ出ます。

ポアンカレ不等式の帰結として、 $H^1_0$ 上では $\|\nabla u\|_{L^2}$ だけでノルムが測れます（ $\int|\nabla u|^2$ がフルの $H^1$ ノルムと同値）。これは次章以降、「エネルギー $\int|\nabla u|^2$ が小さい ⇒ 関数自体が小さい」という形で効き、ラックス–ミルグラムの強圧性（第6章）を支えます。

レリッヒのコンパクト性：近似列から極限を取り出す

無限次元空間の最大の難所は「有界でも収束するとは限らない」ことでした（関数解析：単位球はコンパクトでない）。だから「エネルギー最小化列 $u_k$ は有界」まで言えても、収束する部分列が取れなければ極限＝解を手にできない。ここを救うのがレリッヒの定理です。

定理レリッヒ–コンディラショフのコンパクト性

有界領域 $\Omega$ において、埋め込み $H^1(\Omega)\hookrightarrow L^2(\Omega)$ はコンパクト。すなわち $H^1$ で有界な任意の列 $(u_k)$ から、 $L^2$ で収束する部分列を取り出せる。

「 $H^1$ で有界 ⇒ $L^2$ で収束部分列あり」。傾きまで込めて有界という強い条件を、値だけの収束という弱い結論に両替する——この両替が可能なのがコンパクト埋め込みです。直感的には、傾きが一様に抑えられた関数たちは「一斉には暴れられない」ので、少しずつずらせば足並みの揃う部分列が取れる（アスコリ–アルツェラの精神）。第5章の変分法（直接法）と第8章の固有値問題は、このコンパクト性なしには一歩も進めません。

トレース：境界での値を意味づける

最後の工具です。 $H^1$ の関数は「ほとんどいたるところ等しい同値類」なので、境界 $\partial\Omega$ ——測度 $0$ の薄い集合——での値は、素朴には定義できない（測度 $0$ の上でいくらでも書き換えられる）。しかし境界条件 $u|_{\partial\Omega}=g$ を課したい。この矛盾を解くのがトレース作用素です。

定理トレース定理

素性の良い有界領域 $\Omega$ に対し、滑らかな関数の制限 $u\mapsto u|_{\partial\Omega}$ は $T\colon H^1(\Omega)\to L^2(\partial\Omega),\qquad \|Tu\|_{L^2(\partial\Omega)}\le C\|u\|_{H^1(\Omega)}$ という有界作用素に一意に拡張する。 $Tu$ を $u$ のトレース（境界値）という。このとき $H^1_0(\Omega)=\{u\in H^1(\Omega):Tu=0\}$ 、すなわち「境界で $0$ 」を厳密に意味づける。

要点は、「境界値」を一点ずつの値ではなく境界全体の $L^2$ 関数としてまとめて定義すること。個々の点では無意味でも、境界上の関数としてなら $H^1$ ノルムで連続に決まる。これで「 $u=g$ を境界で満たす弱解」という問いが厳密に立てられます。

注意つまずきポイント

埋め込みの向きを混同しない。「傾きの情報（ $\nabla u\in L^2$ ）→ 値の良さ（連続・高可積分）」。抑えているのは微分の側、ご褒美が出るのは関数の側。
コンパクト埋め込みと連続埋め込みは別物。 $H^1\hookrightarrow L^2$ は連続かつコンパクト。しかし臨界指数 $H^1\hookrightarrow L^{2n/(n-2)}$ は連続だがコンパクトではない（この差が非線形問題の難所を生む）。
トレースは「代入」ではない。 $H^1$ 関数に境界の点を代入することはできない。境界上の $L^2$ 関数を対応させる作用素として初めて意味を持つ。

この章のまとめ

ソボレフ埋め込み：微分の階数が次元の半分を超えれば $H^k\hookrightarrow C^0$ （連続）、足りなくても可積分性が上がる。境目は $n/2$ 。
ポアンカレ不等式： $H^1_0$ では $\|u\|_{L^2}\le C\|\nabla u\|_{L^2}$ 。傾きだけでノルムが測れ、強圧性を支える。
レリッヒのコンパクト性： $H^1$ 有界列から $L^2$ 収束部分列が取れる。変分法・固有値問題の心臓部。
トレース：境界値を境界上の $L^2$ 関数として意味づけ、 $H^1_0=\{Tu=0\}$ 。境界条件を厳密に扱える。

道具が揃いました。次章から楕円型に入ります。まずは最も基本的な調和関数——ラプラス方程式 $\Delta u=0$ の解——の、平均値性・最大値原理・意外な滑らかさを調べます。