⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第4章 調和関数

楕円型の代表選手、ラプラス方程式 Δu=0\Delta u=0 から始めます。ここで Δu=∑i∂i2u\Delta u=\sum_i\partial_i^2 u は ラプラシアン。この解を調和関数といいます。平衡状態の温度分布、電荷のない領域の電位、 石けん膜の高さ——「もう変化しきって落ち着いた形」はたいてい調和関数です。驚くべきは、たった一本の方程式 Δu=0\Delta u=0 から、信じがたいほど強い性質が次々に導かれること。その源はただ一つの直感、**「各点は周りの平均」**です。

直感：調和 ＝ 各点が周りの平均

Δu=0\Delta u=0 を離散化して感触をつかみましょう。格子の上で二階微分を差分に置き換えると、一次元では u′′(x)≈u(x+h)−2u(x)+u(x−h)u''(x)\approx u(x+h)-2u(x)+u(x-h)。これが 00 とは u(x)=12(u(x+h)+u(x−h))u(x)=\tfrac12(u(x+h)+u(x-h))、つまり両隣の平均。 二次元なら u(i,j)=14(u(i±1,j)+u(i,j±1))u(i,j)=\tfrac14(u(i\pm1,j)+u(i,j\pm1))、上下左右四点の平均です。調和とは 「各点の値が、周囲の平均にぴったり一致している」状態——それ以上へこみも出っ張りもしていない、という意味なのです。

この直感は、下の装置でそのまま体感できます。境界の値を固定し、内部の各点を繰り返し「周りの平均」に置き換えると、 形はどんどん落ち着き、やがて動かなくなる。止まった形こそが（離散版の）調和関数です。

平均で置き換えるたびにデコボコが均され、最終的に「これ以上平らにできない、周りの平均で釣り合った形」に到達します。 同時に画面下のエネルギーが単調に減っていく——これは次章のディリクレ原理の予告編です。まずは 「調和 ＝ 各点が周りの平均」を目に焼き付けてください。連続版では、この「平均」が球面上の平均になります。

平均値性：連続版の主定理

定理 平均値性

uu が領域 Ω\Omega 上で調和（Δu=0\Delta u=0）なら、Ω\Omega 内に含まれる任意の球 B(x0,r)B(x_0,r) について、 u(x0)u(x_0) は球面上の平均（および球体上の平均）に等しい： u(x0)=1∣∂B(x0,r)∣∫∂B(x0,r)u dS.u(x_0)=\frac{1}{|\partial B(x_0,r)|}\int_{\partial B(x_0,r)}u\,dS. 逆に、連続関数がこの平均値性を（すべての小球で）満たせば調和である。

証明

半径 rr の球面上の平均を ϕ(r)\phi(r) とおく。ϕ(r)=1∣∂B1∣∫∣ω∣=1u(x0+rω) dS(ω)\phi(r)=\frac{1}{|\partial B_1|}\int_{|\omega|=1}u(x_0+r\omega)\,dS(\omega) を rr で微分し、発散定理を使うと

ϕ′(r)=1∣∂B1∣∫∣ω∣=1∇u⋅ω dS=1∣∂B(x0,r)∣∫B(x0,r)Δu dx=0.\phi'(r)=\frac{1}{|\partial B_1|}\int_{|\omega|=1}\nabla u\cdot\omega\,dS=\frac{1}{|\partial B(x_0,r)|}\int_{B(x_0,r)}\Delta u\,dx=0.

よって ϕ\phi は rr によらず一定。r→0r\to0 で ϕ(r)→u(x0)\phi(r)\to u(x_0) だから、ϕ(r)=u(x0)\phi(r)=u(x_0)。Δu=0\Delta u=0 が 「球面平均が半径によらない」と同値であることが見える。

証明の心臓は ∫BΔu dx=∫∂B∇u⋅ω dS\int_{B}\Delta u\,dx=\int_{\partial B}\nabla u\cdot\omega\,dS（発散定理）——「内部での湧き出し Δu\Delta u の総和が、境界からの流出に等しい」。Δu=0\Delta u=0 は湧き出しゼロ、だから球面平均は膨らみも縮みもしない。

平均値性から芋づる式に出てくる性質

平均値性という一言から、強い性質が次々に転がり出ます。

定理 最大値原理

有界領域 Ω\Omega で調和、Ω‾\overline\Omega で連続な uu は、最大値と最小値を境界 ∂Ω\partial\Omega 上で取る。 さらに（強最大値原理）内部で最大値に達すれば uu は定数。

証明

内部の点 x0x_0 で最大値 MM に達したとする。平均値性より、x0x_0 を囲む小球面上の平均も MM。だが値はどこも MM 以下だから、平均が MM になるには**球面上いたるところ u=Mu=M**でなければならない。この議論を連鎖させると u=Mu=M の集合は開かつ閉、連結性より Ω\Omega 全体で u≡Mu\equiv M。よって非定数なら内部で最大値に達せず、 最大値は境界にある。

最大値原理の帰結として、ディリクレ問題の解の一意性がただちに出ます。Δu=0\Delta u=0 で境界値 gg を持つ解が 二つあれば、その差 ww は調和で境界で 00。最大値も最小値も境界（=0=0）で取るから w≡0w\equiv0。解はあれば一つ。

もう一つ、平均値性は滑らかさを生みます。

定理 調和関数は C∞（そして解析的）

調和関数は自動的に何回でも微分できる（実は実解析的）。Δu=0\Delta u=0 という二階の式しか課していないのに、 無限回の滑らかさが出る。

からくりは平均値性です。u(x0)u(x_0) が球面平均で書けるということは、uu を「滑らかな重み関数との畳み込み」で 表せるということ。畳み込みは重みの滑らかさを受け継ぐので、uu は何回でも微分できてしまう （フーリエ解析の軟化子・畳み込みの平滑化と同じ仕掛け）。楕円型方程式は、弱い解を 勝手に滑らかにする——この現象を第7章で一般の楕円型に拡張します。

リウヴィルの定理：有界な調和関数は退屈

定理 リウヴィルの定理

Rn\mathbb R^n 全体で調和かつ有界な関数は、定数に限る。

証明

勾配 ∇u\nabla u も調和（微分と Δ\Delta は交換する）なので平均値性を満たす。二つの大きな球体上での平均を 比べると、∣u∣≤M|u|\le M（有界）と球体積の評価から、球の半径 R→∞R\to\infty で ∣∇u(x)∣≤CM/R→0|\nabla u(x)|\le C M/R\to0。 よって ∇u≡0\nabla u\equiv0、uu は定数。

複素解析で「有界な整関数は定数」というリウヴィルの定理を見ましたが、正則関数の実部・虚部は 調和なので、あれはこの定理の二次元版でした。分野をまたいで同じ剛性が現れています。「調和かつ有界」は、 無限に広い領域では定数以外を許さないほど強い制約なのです。

注意 つまずきポイント

  • 平均値性は「体積平均」でも「球面平均」でも成り立つ（互いに同値）。どちらで述べてもよい。
  • 最大値原理は「解を書かずに解を制御する」典型。解の公式がなくても、境界の値だけから内部の値の範囲・ 一意性・比較（二つの境界値の大小が内部でも保たれる）が分かる。発展 PDE の精神そのもの。
  • 滑らかさは方程式のご褒美。Δu=0\Delta u=0 を弱形式で（H1H^1 の意味で）満たすだけの uu も、実は C∞C^\infty。 これは楕円型特有で、次章以降の「弱解で存在を示し、正則性で滑らかさを回収する」二段構えの原型。

この章のまとめ

  • 調和関数＝ Δu=0\Delta u=0 の解。直感は「各点が周りの平均」——離散では四近傍平均、連続では球面平均。
  • 平均値性（発散定理から）を核に、最大値原理（→ ディリクレ問題の一意性）、C∞C^\infty／解析性、 リウヴィルの定理（有界なら定数）が芋づる式に出る。
  • 「解の公式なしに、境界値だけで内部を制御する」——最大値原理は発展 PDE の精神を先取りする。
  • 弱い解が自動で滑らかになる現象は楕円型の本質で、第7章で一般化する。

次章は、下の装置でエネルギーが減っていったことの正体——ディリクレ原理を扱います。 「エネルギー ∫∣∇u∣2\int|\nabla u|^2 を最小にする関数こそ調和関数」という変分の視点が、解の存在証明そのものになります。