第5章ディリクレ原理と変分法

前章の装置で、各点を平均に置き換えるたびエネルギーが単調に減り、調和関数に落ち着きました。これは偶然ではありません。「調和関数とは、あるエネルギーを最小にする関数だ」——この視点こそが、解を書かずに存在を証明する 変分法の入口です。ディリクレ原理と呼ばれるこの発想は、変分法で学んだ「関数を動かして汎関数を最小化する」考え方を、PDE の存在証明そのものに変えてしまいます。

ディリクレ原理：最小化する形が解になる

石けん膜を思い浮かべます。針金の枠（境界値 $g$ ）に張った膜は、表面のエネルギー（張力）を最小にする形で静止します。そのエネルギーの数学版がディリクレエネルギーです。

定義ディリクレエネルギー

境界値 $g$ を持つ関数の集まり $\mathcal A=\{u\in H^1(\Omega): Tu=g\}$ の上で、 $E[u]=\frac12\int_\Omega|\nabla u|^2\,dx$ をディリクレエネルギー（汎関数）という。 $|\nabla u|^2$ は「傾きの急さ」＝「膜の張り具合」。

主張は明快です。「 $\mathcal A$ の中で $E[u]$ を最小にする $u$ は、ラプラス方程式の解（調和関数）である」。なぜそう言えるかを、変分法の第一変分（オイラー–ラグランジュ）で確かめます。

定理ディリクレ原理

$u\in\mathcal A$ が $E$ を最小にするなら、 $u$ は境界値 $g$ を持つ $\Delta u=0$ の弱解であり、逆に弱解は $E$ の最小点である。

証明

$u$ が最小点とする。境界で $0$ の任意の $\varphi\in H^1_0(\Omega)$ をとり、 $u+t\varphi$ （境界値は $g$ のまま）で $E$ を評価すると $E[u+t\varphi]=E[u]+t\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla\varphi\,dx+\frac{t^2}{2}\int_\Omega|\nabla\varphi|^2\,dx.$ これは $t$ の二次関数で、 $t=0$ で最小だから一次の係数が $0$ ： $\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla\varphi\,dx=0\qquad(\forall\varphi\in H^1_0).$ これはまさに $\Delta u=0$ の弱形式（第1章）。逆に弱形式が成り立てば、上の展開の一次項が消え $t^2$ 項は非負なので $E[u+t\varphi]\ge E[u]$ 、 $u$ は最小点。二次関数が上に開いている（凸）ので、最小は一意。

要点は「最小点では第一変分が $0$ 」——放物線の頂点で傾きが $0$ になるのと同じ。その「傾き $0$ の条件」が、ちょうど弱形式になる。エネルギー最小化と弱解が、部分積分ひとつで結ばれる。前章の装置でエネルギーが減り続けたのは、緩和が $E$ を下る運動だったからです。

リーマンのつまずき：最小値は本当に存在するのか

ここに落とし穴があります。リーマンはこの原理を使って解の存在を主張しましたが、ワイエルシュトラスに批判されました。理由はこうです。「 $E[u]\ge0$ だから下限（infimum）はある。でもその下限を実際に達成する $u$ が存在するとは限らない」。最小化列 $u_k$ （ $E[u_k]\to\inf E$ ）を作れても、極限が空間の外に逃げたり、極限で $E$ が跳ね上がったりするかもしれない。有限次元なら「有界閉集合上の連続関数は最小値を取る」で済みますが、無限次元では単位球すらコンパクトでない——最小値の存在は自明でないのです。

注意なぜ無限次元だと危ういか

最小化列 $u_k$ が収束する保証がない。仮に何らかの意味で $u_k\to u$ でも、 $E$ が極限で連続でなければ $E[u]\le\lim E[u_k]$ すら言えない。「下限に近づく列」から「下限を達成する点」を取り出す——この一歩に、無限次元特有の道具（弱収束・下半連続性・コンパクト性）が要る。

直接法：三つの道具で最小値を捕まえる

この難所を正面突破するのが変分法の直接法です。第3章で揃えた道具がここで働きます。手順は三段。

定理直接法によるディリクレ問題の可解性

素性の良い有界領域 $\Omega$ と境界値 $g$ に対し、 $E[u]=\frac12\int|\nabla u|^2$ を $\mathcal A$ 上で最小にする $u\in H^1(\Omega)$ が存在する。ゆえにディリクレ問題 $\Delta u=0,\ u|_{\partial\Omega}=g$ の弱解が存在する。

証明

(1) 下から有界・最小化列。 $E\ge0$ なので下限 $m=\inf_{\mathcal A}E\ge0$ が存在。 $E[u_k]\to m$ となる最小化列 $(u_k)$ を取る。ポアンカレ不等式より $\|u_k\|_{H^1}$ は一様に有界。

(2) 弱収束する部分列。 ヒルベルト空間 $H^1$ で有界な列は、弱収束する部分列を持つ（バナッハ–アラオグル／反射性）。 $u_{k_j}\rightharpoonup u$ （弱収束）とする。トレースの連続性から $u\in\mathcal A$ 。

(3) 下半連続性で締める。 ノルム（したがって $E$ ）は弱収束に関して下半連続： $E[u]\le\liminf_j E[u_{k_j}]=m$ 。一方 $u\in\mathcal A$ だから $E[u]\ge m$ 。ゆえに $E[u]=m$ 、 $u$ は最小点。ディリクレ原理より $u$ は弱解。

三つの道具の役割を噛みしめてください。(1) 強圧性（ $E$ が大きい ⇒ ノルムが大きい、ポアンカレ）で列を有界に閉じ込め、(2) 弱コンパクト性で収束部分列を取り出し、(3) 弱下半連続性（ $E$ が極限でジャンプアップしないこと。 $E$ が凸だから成り立つ）で「下限が達成される」ことを保証する。この **「強圧性＋弱コンパクト性＋下半連続性」**の三点セットが、変分法で存在を示すときの黄金パターンです。

なぜ「弱収束」でないと駄目なのか

素朴には強収束（ノルムで $u_k\to u$ ）が欲しいところですが、無限次元では有界列から強収束部分列は取れません（コンパクトでないから）。取れるのは弱収束だけ。ところが弱収束は「積分でテストしたときだけ近づく」緩い収束で、 $E[u_k]\to E[u]$ は保証しない。救いは、 $E$ が凸なら弱下半連続—— $E[u]\le\liminf E[u_k]$ という「不等式の向き」だけは必ず成り立つことです。最小化の文脈では、欲しいのはまさにこの向き（ $E[u]$ が下限以下）。だから弱収束と下半連続性の組み合わせで、ちょうど足りる。無限次元で「最小値が取れない」という病を、 $E$ の凸性が治してくれるのです。

注意つまずきポイント

ディリクレ原理は「解 ⇔ 最小点」の双方向。物理（最小エネルギー）と方程式（弱形式）が同じものの表と裏。
下半連続性で十分、連続性は不要。最小化に必要なのは $E[u]\le\liminf E[u_k]$ の一方向だけ。この非対称性が弱収束を使えるようにする鍵。
凸性が効いている。 $E$ が凸（ $|\nabla u|^2$ が凸）だから弱下半連続になる。非凸な汎関数では最小点の存在は一般に崩れ、現代の変分問題の難所になる。

この章のまとめ

ディリクレ原理：ディリクレエネルギー $E[u]=\frac12\int|\nabla u|^2$ を最小にする $u$ は $\Delta u=0$ の弱解、逆も真。第一変分 $=0$ が弱形式に一致する。
無限次元では「下限は在っても最小点が在るとは限らない」——リーマンのつまずき。
直接法が救う：強圧性（ポアンカレ）で有界化 → 弱コンパクト性で部分列 → 弱下半連続性（凸性）で下限を達成。この三点セットが変分的存在証明の黄金パターン。
弱収束しか取れない無限次元でも、 $E$ の凸性による下半連続性がちょうど足りる。

次章は、同じ存在問題をもう一つの角度から。弱形式を「双線形形式の方程式」とみなし、ラックス–ミルグラムの定理で、対称でない（エネルギーを持たない）方程式まで含めて弱解の存在と一意性を一気に片づけます。