第6章ラックス–ミルグラムの定理

前章の変分法は美しいのですが、弱点があります。「エネルギーを最小化する」という筋は、方程式が対称（自己共役）でエネルギー汎関数を持つときしか使えません。ところが移流項のある方程式 $-\Delta u+b\cdot\nabla u=f$ のように、現実には対称でない楕円型がたくさんある。これらには最小化すべき $E$ がありません。そこで、変分法を 内積の言葉に翻訳して一般化したのがラックス–ミルグラムの定理です。エネルギーを経由せず、弱形式を直接「解ける方程式」に仕立てます。

弱形式を抽象化する：双線形形式と線形汎関数

弱形式 $\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla\varphi\,dx=\int_\Omega f\varphi\,dx$ をじっと見ます。左辺は $u$ と $\varphi$ の両方について線形、右辺は $\varphi$ について線形。この構造だけを抜き出します。舞台はヒルベルト空間 $H=H^1_0(\Omega)$ 。

定義双線形形式・強圧性

$H$ 上の写像 $a\colon H\times H\to\mathbb R$ が双線形形式とは、各変数について線形なこと。これが

有界（連続）：ある $C$ で $|a(u,v)|\le C\|u\|\,\|v\|$ 、
強圧的（coercive）：ある $\alpha>0$ で $a(u,u)\ge\alpha\|u\|^2$ 、

を満たすとする。 $L\colon H\to\mathbb R$ は有界線形汎関数（ $|L(v)|\le C'\|v\|$ ）とする。

弱形式は $a(u,\varphi)=L(\varphi)$ （すべての $\varphi\in H$ ）という形。上の例では $a(u,v)=\int\nabla u\cdot\nabla v$ 、 $L(v)=\int fv$ 。有界性は「積分がノルムで抑えられる」こと（コーシー–シュワルツ）、強圧性は $a(u,u)=\int|\nabla u|^2\ge\alpha\|u\|_{H^1}^2$ ——これは第3章の ポアンカレ不等式そのもの（傾きだけでノルムが測れる）。ここで前章までの道具が効いてきます。

主定理：有界＋強圧なら、弱解がただ一つ

定理ラックス–ミルグラムの定理

ヒルベルト空間 $H$ 上の双線形形式 $a$ が有界かつ強圧的で、 $L\in H^*$ （有界線形汎関数）ならば、 $a(u,v)=L(v)\qquad(\forall v\in H)$ を満たす $u\in H$ がただ一つ存在する。さらに $\|u\|\le \alpha^{-1}\|L\|_{H^*}$ （データに連続に依存）。

主張の破壊力を味わってください。方程式を書き下すことも、解を構成することもなく、「有界性」と「強圧性」という二つの不等式を確かめるだけで、解の存在・一意性・安定性（＝アダマールの意味での適切性）が一挙に出ます。対称性は一切要求していないので、移流項付きの非対称な楕円型もそのまま扱える。

なぜ成り立つのか：リースの表現定理の一般化

証明の心を追います。もし $a$ が対称なら、 $a$ そのものが $H$ 上の新しい内積になります（有界性と強圧性が内積の条件を保証する）。すると $L(v)=a(u,v)$ を満たす $u$ の存在は、リースの表現定理 ——「ヒルベルト空間上の有界線形汎関数は内積で表せる」——の直接の言い換えです。非対称な場合は、 $a$ を「作用素 $A$ を挟んだ内積」 $a(u,v)=\langle Au,v\rangle$ と書き直し、 $A$ が可逆であることを示します。

証明

リースの表現定理により、各 $u$ に対し $a(u,v)=\langle Au,v\rangle$ （ $\forall v$ ）を満たす $Au\in H$ が一意に定まり、 $A\colon H\to H$ は有界線形。同様に $L(v)=\langle w,v\rangle$ となる $w\in H$ がある。方程式は $Au=w$ に帰着。

$A$ が全単射であることを示す。強圧性から $\langle Au,u\rangle=a(u,u)\ge\alpha\|u\|^2$ 、コーシー–シュワルツで $\|Au\|\ge\alpha\|u\|$ 。ゆえに $A$ は単射で像は閉。像が $H$ 全体でないと仮定すると、直交補空間に $0\neq z$ があり $\langle Az,z\rangle=0$ だが強圧性より $\ge\alpha\|z\|^2>0$ ——矛盾。よって $A$ は全射、 $Au=w$ に一意解 $u=A^{-1}w$ 。評価 $\|u\|\le\alpha^{-1}\|L\|$ も $\|Au\|\ge\alpha\|u\|$ から従う。

要するに、強圧性は「作用素 $A$ が下から潰れない（ $\|Au\|\ge\alpha\|u\|$ ）」を意味し、それが $A$ の可逆性＝方程式の一意可解性を生む。有限次元で「固有値が $0$ でない行列は可逆」と言うのと同じことを、無限次元できちんと回している——強圧性は「無限次元版の非退化条件」なのです。

変分法との関係、そして守備範囲の広さ

$a$ が対称のとき、ラックス–ミルグラムの解は前章の直接法で得たエネルギー最小点と一致します（ $E[u]=\frac12 a(u,u)-L(u)$ の最小化の一次条件が $a(u,v)=L(v)$ ）。つまり二つの存在証明は、対称な場合には同じ解を別ルートで捕まえている。ラックス–ミルグラムの真価は、非対称でエネルギーを持たない方程式でもそのまま動くこと。移流拡散 $-\Delta u+b\cdot\nabla u+cu=f$ のような実用的な楕円型が、この一本の定理で片づきます。

例適用例：一般の二階楕円型

$a(u,v)=\int_\Omega\big(A\nabla u\cdot\nabla v+(b\cdot\nabla u)v+cuv\big)dx$ 。係数行列 $A$ が一様楕円（ $A\xi\cdot\xi\ge\lambda|\xi|^2$ ）で、 $c$ が十分大きい（または $b$ が小さい）なら強圧性が成り立ち、 $-\nabla\!\cdot\!(A\nabla u)+b\cdot\nabla u+cu=f$ の弱解が一意に存在する。楕円型境界値問題の存在・一意の 標準的な入口。

注意つまずきポイント

強圧性が命綱。 $a(u,u)\ge\alpha\|u\|^2$ が崩れると、いくら有界でも解の存在は保証されない。ポアンカレ不等式（境界条件が効く）で強圧性を作るのが定石。境界条件を落とすと定数関数で $\int|\nabla u|^2=0$ となり強圧性が壊れる——境界条件は飾りではない。
対称でなくてよいのがラックス–ミルグラムの売り。対称なら変分法（最小化）で済む。非対称こそ本領。
「解ける」だけで「滑らか」とは言っていない。ここで得るのは $H^1$ の弱解。それが実は $C^\infty$ だという話は、次章の正則性理論で別に証明する。

この章のまとめ

弱形式は $a(u,v)=L(v)$ という双線形形式の方程式に抽象化できる。 $a$ ：有界かつ強圧的、 $L$ ：有界線形汎関数。
ラックス–ミルグラムの定理：この設定で弱解が一意に存在し、データに連続に依存する（適切性）。対称性は不要——非対称な楕円型も扱える。
証明はリースの表現定理の一般化。強圧性 $\Rightarrow \|Au\|\ge\alpha\|u\|$ $\Rightarrow$ 作用素 $A$ の可逆性＝「無限次元版の非退化条件」。
対称な場合は前章のエネルギー最小点に一致。ポアンカレ不等式が強圧性を供給する。

存在と一意は手に入りました。しかし得た解は $H^1$ の弱解にすぎません。次章は楕円型の正則性—— 「弱解は実は何回でも微分できる古典解だった」を証明します。方程式が解を勝手に磨き上げる、楕円型の魔法です。