第7章楕円型の正則性

ここまでで「弱解は存在する」ことは示しました。でも弱解は $H^1$ の関数——せいぜい一階の弱微分を持つだけで、連続かどうかも怪しい代物です。ところが楕円型方程式には驚くべき性質があります。弱解は、方程式のおかげで勝手に滑らかになる。右辺 $f$ が滑らかなら、弱解 $u$ は何回でも微分できる古典解に化ける。「存在は弱く示して、滑らかさは方程式から回収する」——この二段構えが発展 PDE の完成形です。

直感：ラプラシアンは「二階分の情報」を握っている

なぜ滑らかになるのか。 $-\Delta u=f$ を眺めます。左辺は $u$ の二階微分の総和。もし右辺 $f$ が $L^2$ に入っていれば、「 $u$ の二階微分の（ある種の）組み合わせが $L^2$ 」という情報が得られる。楕円型の要点は、 $\Delta$ が二階微分すべてを制御していること——一部の組み合わせだけでなく、 $\partial_i\partial_j u$ の全成分が $f$ と同じ良さ（ $L^2$ ）を持つと結論できるのです。これを不等式で書いたのが楕円型評価です。

定理楕円型評価（内部・L² 版）

$-\Delta u=f$ を（弱い意味で）満たし $f\in L^2(\Omega)$ ならば、 $u$ は局所的に $H^2$ に属し、 $\Omega'\Subset\Omega$ （内部にすっぽり入る領域）上で $\|u\|_{H^2(\Omega')}\le C\big(\|f\|_{L^2(\Omega)}+\|u\|_{L^2(\Omega)}\big).$ つまり「右辺の良さ $f\in L^2$ が、解の二階微分の良さ $u\in H^2$ にそっくり移る」。

「方程式の右辺が $k$ 階分滑らかなら、解は $k+2$ 階分滑らか」。二階の楕円型作用素が、微分を二階分 持ち上げてくれる。この「 $+2$ 」が正則性理論のエンジンです。

仕組み：差分商で微分を一段持ち上げる

なぜ二階微分まで $L^2$ に入ると言えるのか。証明の心臓は差分商という技法です。微分そのものを扱う代わりに、ずらし商 $D_h^k u(x)=\dfrac{u(x+he_k)-u(x)}{h}$ （差分による近似微分）を考えます。差分商は「本物の微分」ではないので $u$ が滑らかでなくても計算でき、しかも次の便利な性質を持ちます。

有界性から微分可能性へ。 もし $\|D_h^k u\|_{L^2}$ が $h\to0$ で一様に有界なら、 $u$ は $k$ 方向の弱微分 $\partial_k u\in L^2$ を持つ（弱コンパクト性で $D_h^k u\rightharpoonup\partial_k u$ ）。「差分商が暴れずに有界なら、本物の微分が生まれる」。
部分積分と相性が良い。 差分商は離散版の部分積分規則を満たすので、弱形式にそのまま代入できる。

証明

弱形式 $\int\nabla u\cdot\nabla\varphi=\int f\varphi$ で、試験関数を $\varphi=-D_h^{-k}(\zeta^2 D_h^k u)$ （ $\zeta$ は $\Omega'$ に台を持つ切り取り関数）と選ぶ。左辺を差分商の部分積分で整理すると $\int\zeta^2|D_h^k\nabla u|^2$ という正の量が主要項として現れ、右辺は $\|f\|_{L^2}$ と $\|\nabla u\|_{L^2}$ で上から抑えられる。ヤングの不等式で吸収すると、 $h$ によらず $\|D_h^k\nabla u\|_{L^2(\Omega')}\le C(\|f\|_{L^2}+\|u\|_{L^2}).$ 差分商が一様有界だから、 $\nabla u$ はもう一階弱微分を持つ、すなわち $u\in H^2_{\mathrm{loc}}$ 。各方向 $k$ で繰り返して全二階微分を得る。

からくりを一言で。「弱形式に差分商をテスト関数として代入すると、解の一段上の微分の $L^2$ ノルムが右辺で抑えられる。差分商が有界だから、本物の微分が一段生える」。楕円型（強圧性）が主要項を正に保つのが効いています。

ブートストラップ：滑らかさを無限に持ち上げる

一段持ち上げられるなら、それを繰り返せばよい。これがブートストラップ（自分の靴ひもで自分を持ち上げる）と呼ばれる論法です。

定理内部正則性（ブートストラップ）

$-\Delta u=f$ の弱解について、 $f\in H^k_{\mathrm{loc}}$ ならば $u\in H^{k+2}_{\mathrm{loc}}$ 。とくに $f\in C^\infty$ ならば $u\in C^\infty$ （内部で）。

証明

$f\in L^2$ から上の評価で $u\in H^2$ 。方程式を一階微分すると $-\Delta(\partial_i u)=\partial_i f$ 。 $\partial_i f\in L^2$ （ $f\in H^1$ のとき）だから、同じ評価を $\partial_i u$ に適用して $\partial_i u\in H^2$ 、すなわち $u\in H^3$ 。 $f$ の滑らかさが許す限りこれを繰り返し、 $f\in H^k\Rightarrow u\in H^{k+2}$ 。 $k$ を上げ続け、ソボレフ埋め込み（第3章：階数が次元の半分を超えれば連続）で $u\in C^\infty$ 。

「一段上げる評価」＋「方程式を微分してまた適用」の反復で、滑らかさが天井知らずに上がっていく。前章で $H^1$ の弱解として存在だけを保証したものが、この章で古典解に格上げされる。存在証明と正則性理論、二つを合わせて初めて「古典的な意味での解が確かに在る」と言い切れます。

ワイルの補題：調和なら文句なしに滑らか

正則性のいちばん鮮やかな特別ケースを紹介します。

定理ワイルの補題

$u\in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ が $\int_\Omega u\,\Delta\varphi\,dx=0$ （ $\forall\varphi\in C_c^\infty$ ）を満たすなら、 $u$ は（ほとんどいたるところ） $C^\infty$ の調和関数に等しい。

「超関数の意味でラプラス方程式を満たす」だけの、微分できるかも怪しい $u$ が、実は $C^\infty$ の正真正銘の調和関数だった——これは第4章で「調和関数は自動で $C^\infty$ 」と述べたことの、弱解版の精密化です。証明は $f=0$ のブートストラップ、あるいは軟化子 $u*\rho_\varepsilon$ が平均値性から $u$ 自身に一致することを使います。

楕円型に特有であること——境目を知る

この「解が右辺より二階滑らか」という現象は楕円型に固有です。次章以降の熱方程式（放物型）は時間方向には一階分しか滑らかさを持ち上げず、空間方向でだけ平滑化する。波動方程式（双曲型）にいたっては 滑らかさを一切上げない——初期値の角はそのまま特異性として伝わっていきます（第10章）。

注意つまずきポイント

正則性は「内部」と「境界まで」で難易度が違う。上の話は内部正則性。境界まで滑らかにするには境界の滑らかさとトレースの扱いが要る（境界正則性）。まず内部で押さえるのが常道。
差分商は「本物の微分の代用品」。滑らかでない $u$ にも使え、有界性を通して本物の微分を生む。微分を直接扱えないときの迂回路。
正則性は方程式の型に依存。「解は右辺より滑らか」は楕円型の特権。放物型・双曲型では平滑化の効き方がまるで違う——型の違いはここに集約される。

この章のまとめ

楕円型では弱解が自動的に滑らかになる：右辺 $f$ が $k$ 階滑らかなら解は $k+2$ 階滑らか。 $\Delta$ が二階微分すべてを制御するのが源。
仕組みは差分商：弱形式に差分商をテスト関数として代入し、一段上の微分の $L^2$ 評価を得る。差分商の有界性が本物の微分を生む。
ブートストラップ（一段評価＋方程式を微分して反復）で滑らかさを無限に持ち上げ、 $f\in C^\infty\Rightarrow u\in C^\infty$ 。存在（前章）＋正則性（本章）で古典解の存在が完成。
ワイルの補題はその調和版。正則性は楕円型に固有で、放物型・双曲型とは平滑化の様子が本質的に異なる。

楕円型の物語（存在・一意・正則性）はこれで一巡しました。次章は楕円型のもう一つの顔——グリーン関数で解を積分表示し、ラプラシアンのスペクトル（固有値・固有関数）を調べます。有限次元の対角化が無限次元へ拡張します。