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第8章 グリーン関数と固有値

ここまでは「解が在る・一意・滑らか」という抽象的な保証を積み上げてきました。この章では視点を変え、解を実際に 組み立てる二つの古典的な道具を扱います。一つはグリーン関数——点源への応答を重ね合わせて解を積分で書く方法。 もう一つは固有値・固有関数——ラプラシアンを無限次元で「対角化」し、解を固有振動の重ね合わせに分解する方法。 後者は、次章からの熱・波動という時間発展へまっすぐつながります。

基本解：一点に集中した源への応答

まず「一点だけに置かれた源」への応答を求めます。−ΔE=δ0-\Delta E=\delta_0（原点に集中した単位の源）を満たす EE を基本解といいます。点電荷が作る電位、と思えば物理的です。

定義 ラプラシアンの基本解

E(x)={−12πlog⁡∣x∣(n=2)1(n−2)ωn−1 ∣x∣2−n(n≥3)E(x)=\begin{cases}-\dfrac{1}{2\pi}\log|x| & (n=2)\\[2mm] \dfrac{1}{(n-2)\omega_{n-1}}\,|x|^{2-n} & (n\ge3)\end{cases} は −ΔE=δ0-\Delta E=\delta_0 を（超関数の意味で）満たす。ωn−1\omega_{n-1} は単位球面の面積。

球対称に ΔE=0\Delta E=0（原点以外）を解けばこの形が出て、原点まわりの発散定理で係数が 「ちょうど δ\delta の重み 11」になるよう決まります。基本解が手に入ると、一般の源 ff への応答は重ね合わせで 書けます。ff を無数の点源の集まりとみて、各点源への応答 EE を足し上げる——これが畳み込みです。

定理 ニュートンポテンシャル

Rn\mathbb R^n 上で −Δu=f-\Delta u=f（ff は素性の良い台つき関数）の解は u(x)=(E∗f)(x)=∫RnE(x−y) f(y) dy.u(x)=(E*f)(x)=\int_{\mathbb R^n}E(x-y)\,f(y)\,dy. ΔE=−δ\Delta E=-\delta なので −Δu=−ΔE∗f=δ∗f=f-\Delta u=-\Delta E*f=\delta*f=f。点源への応答の重ね合わせが一般解を与える。

グリーン関数：境界条件を組み込んだ基本解

基本解は全空間の話でした。有界領域 Ω\Omega で「境界で 00」という条件のもとに解きたいときは、基本解に 補正項を足して境界条件を満たすようにします。これがグリーン関数です。

定義 グリーン関数

領域 Ω\Omega のグリーン関数 G(x,y)G(x,y) とは、各 y∈Ωy\in\Omega を固定したとき −ΔxG(⋅,y)=δy in Ω,G(⋅,y)=0 on ∂Ω-\Delta_x G(\cdot,y)=\delta_y\ \text{in }\Omega,\qquad G(\cdot,y)=0\ \text{on }\partial\Omega を満たすもの。G(x,y)=E(x−y)−h(x,y)G(x,y)=E(x-y)-h(x,y) と分け、補正 hh は Δxh=0\Delta_x h=0、h∣∂Ω=E(⋅−y)∣∂Ωh|_{\partial\Omega}=E(\cdot-y)|_{\partial\Omega} （境界で基本解を打ち消す調和関数）で定める。

グリーン関数があれば、境界値問題の解を積分公式で一気に書けます。

定理 グリーンの表現公式

−Δu=f-\Delta u=f in Ω\Omega、u=gu=g on ∂Ω\partial\Omega の解は u(x)=∫ΩG(x,y)f(y) dy−∫∂Ω∂G∂νy(x,y) g(y) dS(y).u(x)=\int_\Omega G(x,y)f(y)\,dy-\int_{\partial\Omega}\frac{\partial G}{\partial\nu_y}(x,y)\,g(y)\,dS(y). 第一項が源 ff の寄与、第二項が境界値 gg の寄与（ポアソン核）。

構造が美しい。内部の源も境界の値も、グリーン関数という一つの核を通した積分で解に変換される。第4章の 平均値性（球面平均で u(x0)u(x_0) が書けた）は、球のポアソン核による表現公式の特別な場合でした。グリーン関数は 「その領域における逆作用素 (−Δ)−1(-\Delta)^{-1} の積分核」——ラックス–ミルグラムが抽象的に保証した逆作用素を、 具体的な積分で書き下したものです。対称性 G(x,y)=G(y,x)G(x,y)=G(y,x)（相反定理）は、−Δ-\Delta が自己共役なことの反映です。

固有値問題：無限次元の対角化

もう一つの道具に移ります。有限次元では、対称行列を固有ベクトルの基底で対角化すると、線形問題が各成分で 独立に解けました。同じことをラプラシアンでやりたい——それが固有値問題です。

定理 ディリクレ・ラプラシアンのスペクトル分解

有界領域 Ω\Omega 上、境界で 00 の条件のもとで固有値問題 −Δϕk=λkϕk-\Delta\phi_k=\lambda_k\phi_k、ϕk∣∂Ω=0\phi_k|_{\partial\Omega}=0 を考える。すると 0<λ1≤λ2≤⋯→∞0<\lambda_1\le\lambda_2\le\cdots\to\infty という離散的な固有値の列と、対応する固有関数 {ϕk}\{\phi_k\} が存在し、ϕk\phi_k たちは L2(Ω)L^2(\Omega) の 正規直交基底をなす。任意の u∈L2u\in L^2 は u=∑k⟨u,ϕk⟩ϕku=\sum_k\langle u,\phi_k\rangle\phi_k と展開できる。

証明

逆作用素 T=(−Δ)−1 ⁣:L2→L2T=(-\Delta)^{-1}\colon L^2\to L^2 を考える。ラックス–ミルグラム（第6章）で TT は有界、 グリーン関数を核とする積分作用素なので自己共役、そして第3章のレリッヒのコンパクト性（H1↪L2H^1\hookrightarrow L^2 がコンパクト）から TT はコンパクト作用素。関数解析の コンパクト自己共役作用素のスペクトル定理（＝無限次元版の対角化）を TT に適用すると、TT の固有値 μk→0\mu_k\to0 と正規直交固有基底 {ϕk}\{\phi_k\} を得る。−Δ-\Delta の固有値は λk=1/μk→∞\lambda_k=1/\mu_k\to\infty。

証明の骨格を味わってください。「−Δ-\Delta の逆はコンパクト自己共役」——この一点で、関数解析の スペクトル定理がそのまま使え、無限次元の対角化が完成する。有限次元の対称行列の対角化が、レリッヒの コンパクト性を触媒にして無限次元へ持ち上がったわけです。第3章で用意したコンパクト性が、ここで決定的に効きます。

なぜ固有関数分解が発展方程式の鍵なのか

固有基底 {ϕk}\{\phi_k\} は、次章からの時間発展を解く万能鍵です。先取りしておきます。熱方程式 ut=Δuu_t=\Delta u を u(x,t)=∑kck(t)ϕk(x)u(x,t)=\sum_k c_k(t)\phi_k(x) と展開して代入すると、空間微分 Δ\Delta が各成分で −λk-\lambda_k 倍に化けて、 無限本の独立な常微分方程式 ck′(t)=−λkck(t)c_k'(t)=-\lambda_k c_k(t) に分解される。解は ck(t)=ck(0)e−λktc_k(t)=c_k(0)e^{-\lambda_k t}。 つまり

u(x,t)=∑kck(0) e−λkt ϕk(x).u(x,t)=\sum_k c_k(0)\,e^{-\lambda_k t}\,\phi_k(x).

各モードが e−λkte^{-\lambda_k t} で減衰し、高い固有値（細かい振動）ほど速く消える——これが第9章の平滑化の 正体です。波動方程式なら ck′′=−λkckc_k''=-\lambda_k c_k となり、ck(t)=cos⁡(λk t)c_k(t)=\cos(\sqrt{\lambda_k}\,t) の振動が残る。 固有関数分解は「PDE を無限個の常微分方程式に分解する」——ラプラシアンの対角化が、時間発展を各モードの 単純な運動に翻訳するのです。

注意 つまずきポイント

  • 基本解・グリーン関数・ポアソン核は役割違い。基本解＝全空間の点源応答、グリーン関数＝境界で 00 に 補正した版、ポアソン核＝境界値の寄与を表す核。すべて「点への応答を重ね合わせる」思想の変奏。
  • 固有値が離散になるのはコンパクト性のおかげ。有界領域だから (−Δ)−1(-\Delta)^{-1} がコンパクトになり、 スペクトルが離散化する。全空間 Rn\mathbb R^n ではコンパクト性が無く、スペクトルは連続になる（固有関数分解の 代わりにフーリエ変換を使う）。
  • 固有関数分解 ＝ 一般化されたフーリエ級数。Ω=(0,π)\Omega=(0,\pi) なら ϕk=sin⁡kx\phi_k=\sin kx、λk=k2\lambda_k=k^2—— おなじみのフーリエ級数そのもの。一般の領域への拡張になっている。

この章のまとめ

  • 基本解 EE（−ΔE=δ-\Delta E=\delta）への応答を重ね合わせ、u=E∗fu=E*f（ニュートンポテンシャル）で解を書く。
  • グリーン関数 GG＝境界条件を組み込んだ基本解。表現公式で「源 ff ＋境界値 gg」を積分で解に変換。 GG は逆作用素 (−Δ)−1(-\Delta)^{-1} の積分核で、自己共役性が対称性 G(x,y)=G(y,x)G(x,y)=G(y,x) に表れる。
  • スペクトル分解：−Δ-\Delta の逆がコンパクト自己共役だから、離散固有値 λk→∞\lambda_k\to\infty と正規直交 固有基底 {ϕk}\{\phi_k\} を持つ（無限次元の対角化、レリッヒのコンパクト性が触媒）。
  • 固有関数分解は PDE を無限個の独立な常微分方程式に翻訳する——次章の平滑化・振動の正体。

これで楕円型を八章かけて一巡しました。次章から時間発展へ。まずは熱方程式（放物型）。固有関数分解で予告した e−λkte^{-\lambda_k t} の減衰が、どんな初期形も一瞬でなめらかにする「平滑化」として立ち現れます。