第6章中心極限定理

身長、測定誤差、テストの点、株価の揺れ——世の中は釣鐘型（正規分布）であふれています。なぜ、これほど違う現象が、そろって同じ形になるのか。答えが、確率論のもっとも美しい定理中心極限定理（CLT）です。前章で「割合は $\mu$ に収束する」を見ました。今度は、消えていく差 $S_n-n\mu$ を $\sqrt{n}$ で拡大して覗きます。すると——元がどんな分布でも、必ず正規分布が現れます。

まず現象を見る：元の形を忘れる

独立同分布な $n$ 個の和を標準化した $Z_n=\dfrac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}$ の分布を、 $n$ を変えながら見てみましょう。

n ＝ 1 個の和

一様分布（平ら）、コイン（ $2$ 本の棒）、指数分布（大きく右に歪む）——出発点はまるで違います。なのに $n$ を増やすと、どれも同じ標準正規 $N(0,1)$ の釣鐘（朱）に吸い寄せられる。特に歪んだ指数分布が、たった数十個の和で釣鐘化するのは劇的です。元の分布の個性が、足し合わせると消えてしまう。この普遍性こそ CLT の核心で、「世界が釣鐘だらけ」な理由です。多くの現象が「小さな独立要因の足し算」だから。

なぜ $\sqrt{n}$ で割るのか。 $S_n-n\mu$ の分散は $n\sigma^2$ 、標準偏差は $\sigma\sqrt{n}$ で広がっていく。これを $\sigma\sqrt{n}$ で割ってちょうど分散 $1$ に正規化すると、形が安定する。大数の法則は $S_n$ を $n$ で割って一点 $\mu$ に潰した。CLT は $\sqrt{n}$ で割って潰れる直前の形を捉える——両者は同じ和を違う倍率で見た姉妹です。

道具：特性関数（分布のフーリエ変換）

証明の鍵は、第2章で予告した「和はたたみ込み、変換すれば積」という発想。分布に施す変換が特性関数です。

定義特性関数

確率変数 $X$ の特性関数を

\varphi_X(t)=\mathbb{E}\big[e^{itX}\big]=\int_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\,dP_X(x)

と定める。これは分布 $P_X$ のフーリエ変換に他ならない。

特性関数が主役なのは、三つの美点ゆえです。

積に化ける： $X,Y$ 独立なら $\varphi_{X+Y}(t)=\mathbb{E}[e^{it(X+Y)}]=\mathbb{E}[e^{itX}]\mathbb{E}[e^{itY}]=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)$ 。たたみ込み（和の分布）が掛け算になる。「 $n$ 個の和」が「 $n$ 乗」になり、扱いが劇的に楽に。
分布を一意に決める： $\varphi_X=\varphi_Y \Rightarrow$ 分布が一致（フーリエ変換の単射性）。 $\varphi$ を調べれば分布が分かる。
モーメントが微分で出る： $\varphi_X'(0)=i\mathbb{E}[X]$ 、 $\varphi_X''(0)=-\mathbb{E}[X^2]$ 。だから平均 $0$ ・分散 $1$ の $X$ は、 $0$ の近くで $\varphi_X(t)=1+it\,\mathbb{E}[X]-\tfrac{t^2}{2}\mathbb{E}[X^2]+o(t^2)=1-\tfrac{t^2}{2}+o(t^2).$ この二次のテイラー展開が、証明の全体重を支えます。

そして「特性関数が近づけば分布も近づく」を保証するのが、フーリエ解析の連続性そのもの：

定理レヴィの連続性定理

$\varphi_{X_n}(t)\to\varphi(t)$ が各 $t$ で成り立ち、 $\varphi$ が $t=0$ で連続なら、 $\varphi$ はある分布の特性関数で、 $X_n\xrightarrow{d}X$ （分布収束）。逆も成り立つ。

これで戦略が決まりました。 $Z_n$ の特性関数が、 $N(0,1)$ の特性関数 $e^{-t^2/2}$ に収束することを示せばよい。

証明： $e^{-t^2/2}$ へ収束させる

定理中心極限定理（CLT）

$X_1,X_2,\dots$ が独立同分布、平均 $\mu$ ・分散 $\sigma^2\in(0,\infty)$ をもつとする。このとき

Z_n=\frac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}=\frac{\bar X_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\ \xrightarrow{d}\ N(0,1).

すなわち任意の $z$ で $P(Z_n\le z)\to \Phi(z)=\displaystyle\int_{-\infty}^{z}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du$ 。

証明

$Y_i=\dfrac{X_i-\mu}{\sigma}$ と標準化する（平均 $0$ ・分散 $1$ ・独立同分布）。すると $Z_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n Y_i$ 。特性関数は「独立和は積」「定数倍は $\varphi(ct)$ 」より

\varphi_{Z_n}(t)=\Big[\varphi_Y\!\Big(\tfrac{t}{\sqrt{n}}\Big)\Big]^{n}.

$Y$ は平均 $0$ ・分散 $1$ だから、 $0$ の近くで $\varphi_Y(s)=1-\tfrac{s^2}{2}+o(s^2)$ 。 $s=t/\sqrt{n}$ を代入すると

\varphi_Y\!\Big(\tfrac{t}{\sqrt{n}}\Big)=1-\frac{t^2}{2n}+o\!\Big(\frac{1}{n}\Big).

これを $n$ 乗する。 $\big(1+\tfrac{a_n}{n}\big)^n\to e^{a}$ （ $a_n\to a$ ）という指数極限を、 $a_n=-\tfrac{t^2}{2}+o(1)$ に使えば

\varphi_{Z_n}(t)=\Big[1-\frac{t^2}{2n}+o\!\big(\tfrac1n\big)\Big]^{n}\ \xrightarrow[n\to\infty]{}\ e^{-t^2/2}.

右辺 $e^{-t^2/2}$ はまさに $N(0,1)$ の特性関数。レヴィの連続性定理より $Z_n\xrightarrow{d}N(0,1)$ 。

証明の魔法は一点に尽きます。元の分布 $\varphi_Y$ の細かい情報（三次以降）は $o(s^2)$ に呑まれて消え、効くのは平均 $0$ ・分散 $1$ という二つの数だけ。 だから出発点がどんな形でも行き先は同じ $e^{-t^2/2}$ 。実演で「元の個性が消える」と見たものの正体が、この二次展開だったわけです。全体重が $\varphi_Y(s)=1-s^2/2+\dots$ に載っていた——美しいほど単純です。

何が言えるようになったか

CLT は理論の華であると同時に、統計学の心臓です。標準偏差 $\sigma/\sqrt{n}$ を思い出すと、CLT は「標本平均 $\bar X_n$ は、真の値 $\mu$ を中心に幅 $\sigma/\sqrt{n}$ の正規分布でばらつく」と言っています。分布の形が正規と分かるからこそ、「 $95\%$ の確率でこの区間に入る」という信頼区間が計算でき（第11章）、測定誤差の見積り、 $\sqrt{n}$ 則によるモンテカルロ誤差評価、品質管理の管理図——応用は数え切れません。

注意つまずきポイント

CLT は $\bar X_n$ が正規に「なる」ではなく、標準化 $Z_n$ が正規に「近づく」。 有限の $n$ では近似。近似の速さは元の歪みで変わる（歪んだ指数は遅い＝実演どおり）。誤差の定量版がベリー–エッセーンの定理。
独立性と有限分散が命。 従属が強いと成り立たない。分散が無限（裾が重い）だと正規でなく安定分布へ収束する（一般化中心極限定理）。「何でも正規」ではない。
大数の法則と役割が違う。 大数は $\bar X_n\to\mu$ （一点へ収束）、CLT はその収束の揺らぎの形（ $\sqrt{n}$ 拡大で釣鐘）。同じ和を、 $n$ で割るか $\sqrt{n}$ で割るかの違い。

この章のまとめ

中心極限定理：独立同分布・分散有限なら、標準化した和 $Z_n=(S_n-n\mu)/(\sigma\sqrt n)$ は元の分布によらず $N(0,1)$ へ分布収束。
道具は特性関数（分布のフーリエ変換）：独立和が積に化け、分布を一意に決め、モーメントが微分で出る。近さを分布収束へ翻訳するのがレヴィの連続性定理。
証明の核は $\varphi_Y(s)=1-s^2/2+o(s^2)$ を $n$ 乗し $e^{-t^2/2}$ へ。平均と分散だけが効き、元の個性は消える。これが信頼区間・誤差評価（第11章）の理論的土台。

ここまでで独立和の理論は完成です。次章からは時間とともに情報が増える世界へ——条件付き期待値を再定義し、マルチンゲール、そしてブラウン運動という確率過程の本流に入ります。

第6章 中心極限定理