第7章 条件付き期待値

ここまでは「一発勝負」の確率でした。ここからは時間とともに情報が増えていく世界へ入ります。 サイコロを振っていく途中、「これまでの目を知ったうえで、次の平均はいくつか」を問いたい。その主役が 条件付き期待値。素朴には高校でも習いますが、連続の世界で通用させるには、 測度論的な再定義が必要です。そしてこの再定義が、マルチンゲール（次章）の言葉そのものになります。

素朴な条件付き確率と、その限界

事象 $B$（$P(B)>0$）が起きたと分かったときの $A$ の確率は

「$B$ の世界に舞台を絞り、その中での $A$ の割合」。条件付き期待値も同様に $\mathbb{E}[X\mid B]$ が定まります。

ところが、条件が連続変数だと破綻します。「$Y=y$ が与えられたときの $X$ の平均 $\mathbb{E}[X\mid Y=y]$」を 考えたいのに、連続型では $P(Y=y)=0$。$0$ で割るので上の定義が使えない。第1章の「一点の確率 $0$」問題が また顔を出すのです。密度を使えば形式的に書けますが、密度が無い場合や、より抽象的な「情報」で条件づけたいときには 足りません。条件付き期待値を、確率 $0$ の割り算に頼らずに定義し直す必要があります。

発想の転換：σ-加法族 ＝ 「持っている情報」

鍵は視点を変えることです。「$Y$ の値を知っている」とは、具体的にはどんな事象の真偽を判定できるかという 情報量のこと。「$Y\in[a,b]$ は起きたか？」に答えられる事象全体——これは一つの σ-加法族 $\mathcal{G}=\sigma(Y)$ を なします。第1章で σ-加法族を「測れる事象の家族」と呼びましたが、ここでは新しい顔で読み替えます：

σ-加法族 ＝ 手元にある情報の量。 大きい $\mathcal{G}$ ほど「見分けられる事象」が多い＝情報が豊富。

すると「$Y$ を知ったうえでの $X$ の平均」は「情報 $\mathcal{G}=\sigma(Y)$ のもとでの $X$ の平均」と一般化できます。 求めたいのは、もはや一つの数ではなく、$\mathcal{G}$ の情報だけで決まる確率変数——$\mathcal{G}$ を通して見える範囲で $X$ を一番よく言い当てる予測です。これを二つの性質で特徴づけます。

条件1は「予測は手元の情報だけで作れ」、条件2は「どんな $\mathcal{G}$-事象の上でならしても、本物 $X$ と平均が合う」＝ 不偏。この二つを満たす $Z$ は、確率 $1$ の違いを除いて一意に存在します。存在の保証は、次の定理そのものです。

存在の正体：ラドン–ニコディム微分＝L²射影

なぜ $Z$ が存在するのか。二つの見方があり、どちらも既習の大定理に直結します。

測度論の見方（ラドン–ニコディム）。 集合関数 $\nu(G)=\int_G X\,dP$（$G\in\mathcal{G}$）を作ると、これは $\mathcal{G}$ 上の（符号つき）測度で、$P$ に関して絶対連続です。ラドン–ニコディムの定理より、 $\mathcal{G}$-可測な密度 $Z=\dfrac{d\nu}{dP}$ が存在する。これがまさに条件2を満たす $Z$。 条件付き期待値とは、$X$ を $\mathcal{G}$ 上へ落とした測度のラドン–ニコディム微分なのです。

関数解析の見方（射影）。 $X\in L^2$ なら、$\mathcal{G}$-可測な二乗可積分関数の全体は $L^2$ の閉部分空間 $L^2(\mathcal{G})$。 関数解析の射影定理より、$X$ からこの部分空間への直交射影が一意に存在します。それが $\mathbb{E}[X\mid\mathcal{G}]$。つまり条件付き期待値は「持っている情報で作れる予測のうち、$X$ に $L^2$ 距離で一番近いもの」＝ 最良予測。誤差 $X-\mathbb{E}[X\mid\mathcal{G}]$ が情報 $\mathcal{G}$ と直交する、という第3章の内積の幾何がそのまま生きます。

条件付き期待値 ＝ 「手元の情報 $\mathcal{G}$ で $X$ を最良近似した予測」。ラドン–ニコディム微分であり、$L^2$ 射影。

使いこなす：性質とタワー則

定義から、次が確率 $1$ で成り立ちます（証明はどれも定義の二条件を確かめるだけ）。

主役はタワー則です。心は「粗い情報での平均は、細かい情報で平均してからもう一度粗く平均しても同じ」。 段階的に情報を明かしていくとき、途中でならしても最後にならしても答えは変わらない——これが次章のマルチンゲール （「今の最良予測」が時間で繋がる列）の背骨になります。特に最後の系「条件付き期待値をもう一度平均すると元の平均」は、 複雑な期待値を条件で場合分けして計算する万能テクニック（全期待値の公式）として、実戦で最も使う道具です。

具体例で握っておきましょう。$Y$ が離散で $\{Y=y\}$ が正の確率をもつなら、一般定義は素朴な定義に一致し、 $\mathbb{E}[X\mid\sigma(Y)]$ は $\{Y=y\}$ 上で値 $\mathbb{E}[X\mid Y=y]=\sum_x x\,P(X=x\mid Y=y)$ をとる階段状の確率変数。 連続で密度 $f_{X,Y}$ があれば $\{Y=y\}$ 上で $\int x\,\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}\,dx$。抽象定義は、これらを 確率 $0$ の割り算を避けて一括した「情報による最良予測」だと分かります。

この章のまとめ

• 連続の条件づけは「確率 $0$ の割り算」で破綻する。そこで σ-加法族＝情報量と読み替え、条件付き期待値を 「$\mathcal{G}$-可測」かつ「$\mathcal{G}$-事象上で $X$ と平均一致」で定義する。
• 存在はラドン–ニコディム微分（測度論）＝$L^2$ 直交射影（関数解析）＝情報 $\mathcal{G}$ による $X$ の最良予測。
• タワー則 $\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid\mathcal{G}]\mid\mathcal{H}]=\mathbb{E}[X\mid\mathcal{H}]$（$\mathcal{H}\subset\mathcal{G}$）が要。 「途中でならしても同じ」——マルチンゲールと全期待値の公式の背骨。

次章では、時間とともに情報 $\mathcal{F}_n$ が増えていく列を舞台に、「今の最良予測が未来にわたって公平」な過程—— マルチンゲールを定義し、その驚くべき停止定理と収束定理を見ます。