⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第8章 マルチンゲール

公平なコイン賭博。表なら +1+1、裏なら −1-1。今いくら勝っていようと、次の一手の期待値は 00—— 持ち金は増えも減りもしないのが「公平」の意味です。この「今の値が未来の最良予測」という性質を持つ確率過程を マルチンゲールと呼びます。前章の条件付き期待値が、そのまま定義の言葉になります。 そしてここから「どんな賭け方をしても勝てない」という、数学的に厳密で、賭博者には残酷な定理が導かれます。

情報の流れ：フィルトレーション

時間とともに情報が増えていく様子を、σ-加法族の増大列で表します。

定義 フィルトレーションと適合

σ-加法族の増大列 F0⊂F1⊂F2⊂⋯\mathcal{F}_0\subset\mathcal{F}_1\subset\mathcal{F}_2\subset\cdots（各 Fn⊂F\mathcal{F}_n\subset\mathcal{F}）を フィルトレーションという。Fn\mathcal{F}_n は「時刻 nn までに得た情報」。 確率過程 (Xn)(X_n) が適合とは、各 XnX_n が Fn\mathcal{F}_n-可測であること（時刻 nn には XnX_n の値が分かっている）。

「情報は増える一方（前章の σ-加法族＝情報量が育っていく）」——これがフィルトレーション。賭博なら Fn\mathcal{F}_n＝「nn 回目までの出目の記録」です。

定義 マルチンゲール

適合過程 (Mn)(M_n) が各 E[∣Mn∣]<∞\mathbb{E}[|M_n|]<\infty を満たし、

E[Mn+1∣Fn]=Mn(すべての n)\mathbb{E}[M_{n+1}\mid\mathcal{F}_n]=M_n \quad(\text{すべての }n)

のときマルチンゲールという。「≥Mn\ge M_n」なら劣マルチンゲール（有利な賭け）、 「≤Mn\le M_n」なら優マルチンゲール（不利な賭け）。

定義の心はただ一つ：今の値 MnM_n こそが、次の値の（今の情報での）最良予測。前章のタワー則を繰り返せば E[Mn]=E[M0]\mathbb{E}[M_n]=\mathbb{E}[M_0]——期待値は時間によらず一定。公平な賭けでは、いつまで続けても平均は初期値のまま。 コイン賭博の持ち金 Mn=∑i≤nξiM_n=\sum_{i\le n}\xi_i（ξi=±1\xi_i=\pm1 独立平均 00）は、E[Mn+1∣Fn]=Mn+E[ξn+1]=Mn\mathbb{E}[M_{n+1}\mid\mathcal{F}_n]=M_n+\mathbb{E}[\xi_{n+1}]=M_n でマルチンゲールの原型です。

止め時を選ぶ：停止時刻

賭博者は「勝ち逃げ」したい。ある条件が来たら止める、という戦略を数学にします。ポイントは 「今この瞬間に止めるかは、今までの情報だけで決めねばならない」——未来を見て止めることはできません。

定義 停止時刻

{0,1,2,…,∞}\{0,1,2,\dots,\infty\} に値をとる確率変数 τ\tau が停止時刻とは、各 nn で {τ≤n}∈Fn\{\tau\le n\}\in\mathcal{F}_n（時刻 nn には「もう止めたか」が分かる）。

「MnM_n が初めて 1010 に達したら止める」は停止時刻（到達したかは今分かる）。一方「MnM_n が生涯の最大値に なった瞬間に止める」は停止時刻でない（未来を知らないと判定できない）。この「未来を覗けない」制約が、 次の定理で賭博者の望みを打ち砕きます。

任意抽出定理：戦略では勝てない

定理 ドゥーブの任意抽出（optional stopping）定理

(Mn)(M_n) をマルチンゲール、τ\tau を停止時刻とする。τ\tau が有界（τ≤N\tau\le N）など適当な条件のもとで

E[Mτ]=E[M0].\mathbb{E}[M_\tau]=\mathbb{E}[M_0].

（有界でなくとも、τ<∞\tau<\infty a.s. かつ (Mn∧τ)(M_{n\wedge\tau}) が一様可積分なら成り立つ。）

主張は衝撃的です。どんな停止戦略 τ\tau を選んでも、止めた時点の平均持ち金は初期値のまま。 「公平な賭けに、勝てる止め方は存在しない」。証明の心臓は、前章のタワー則です。

証明

τ≤N\tau\le N（有界）とする。差分 Dk=Mk−Mk−1D_k=M_k-M_{k-1} を使い、賭け金 Hk=1{τ≥k}H_k=\mathbf{1}_{\{\tau\ge k\}} （時刻 kk に「まだ止めていない」なら 11）を考える。{τ≥k}={τ≤k−1}c∈Fk−1\{\tau\ge k\}=\{\tau\le k-1\}^c\in\mathcal{F}_{k-1} なので HkH_k は Fk−1\mathcal{F}_{k-1}-可測——過去の情報だけで決まる賭け（これが停止時刻の効き所）。すると

Mτ−M0=∑k=1NHkDk(止めた後は Hk=0 で足されない).M_\tau-M_0=\sum_{k=1}^{N} H_k D_k \quad(\text{止めた後は }H_k=0\text{ で足されない}).

期待値を取り、各項でタワー則と「既知量は外へ」を使うと E[HkDk]=E[Hk E[Dk∣Fk−1]]=E[Hk⋅0]=0\mathbb{E}[H_k D_k]=\mathbb{E}\big[H_k\,\mathbb{E}[D_k\mid\mathcal{F}_{k-1}]\big]=\mathbb{E}[H_k\cdot 0]=0 （マルチンゲール性 E[Dk∣Fk−1]=0\mathbb{E}[D_k\mid\mathcal{F}_{k-1}]=0）。総和して E[Mτ−M0]=0\mathbb{E}[M_\tau-M_0]=0。

一般に「過去の情報だけで賭け金を決める戦略 HkH_k（予測可能という）で作った新しい過程 ∑HkDk\sum H_k D_k もまたマルチンゲール」——これがマルチンゲール変換で、俗に言う 「システムベッティングでは胴元に勝てない」の数学的正体です。ただし条件は本質的で、これを外すと破れます。

注意 有界性が命：倍賭け戦法の罠

±1\pm1 賭博で「勝つまで賭け金を倍々にし、11 勝ったら止める」戦略（マーチンゲール法）を考えると、 確率 11 でいつか勝って +1+1 で終わる——E[Mτ]=1≠0=E[M0]\mathbb{E}[M_\tau]=1\ne 0=\mathbb{E}[M_0]！ 定理が破れたわけではない。 この τ\tau は有界でなく、途中の負債が青天井（一様可積分でない）で、定理の仮定を満たさないだけ。 「無限の資金と時間があれば必ず勝てるが、現実にはない」——仮定の重さがそのまま現実の教訓になっている。

マルチンゲール収束定理

マルチンゲールは、暴れ続けることができません。有界ならば必ず落ち着きます。

定理 ドゥーブのマルチンゲール収束定理

(Mn)(M_n) がマルチンゲールで sup⁡nE[∣Mn∣]<∞\sup_n \mathbb{E}[|M_n|]<\infty（L1L^1 有界）ならば、MnM_n はある確率変数 M∞M_\infty に 概収束する。特に非負優マルチンゲールは必ず概収束する。

証明はアップクロッシング補題——「区間 [a,b][a,b] を下から上へ横切る回数の期待値が有界」を示すのが核心です。 もし収束しなければ、ある [a,b][a,b] を無限回上下に横切る＝公平な賭けなのに無限回「安く買って高く売る」ことになり、 任意抽出定理と矛盾する。この鮮やかな背理が、収束を強制します。

収束定理は理論の至る所で効きます。可積分な XX と増大するフィルトレーションから作った Mn=E[X∣Fn]M_n=\mathbb{E}[X\mid\mathcal{F}_n]（情報が増えるにつれ更新される最良予測）はマルチンゲールで、Mn→E[X∣F∞]M_n\to\mathbb{E}[X\mid\mathcal{F}_\infty]。 「情報を増やしていけば予測は落ち着く」。前章の強法則も、実はマルチンゲール収束で証明できます。

注意 つまずきポイント

  • マルチンゲールは「独立増分」より広い。 増分は独立でなくてよく、条件付き平均が 00 でありさえすればよい。 独立和はマルチンゲールの一例にすぎない。
  • 任意抽出は無条件ではない。 有界・一様可積分などの仮定が要る。倍賭け戦法はこの仮定を破る反例で、 「仮定を落とすと結論も落ちる」を身をもって示す。
  • 停止時刻は「今の情報で判定できる止め時」。 未来を見て止める（最大値の瞬間など）のは停止時刻でない。

この章のまとめ

  • フィルトレーション（増える情報 Fn\mathcal{F}_n）の上で、E[Mn+1∣Fn]=Mn\mathbb{E}[M_{n+1}\mid\mathcal{F}_n]=M_n を満たす過程が マルチンゲール（＝公平な賭け）。今の値が未来の最良予測、期待値は一定。
  • 停止時刻は「今の情報で決まる止め時」。任意抽出定理 E[Mτ]=E[M0]\mathbb{E}[M_\tau]=\mathbb{E}[M_0]——公平な賭けに勝てる 戦略はない。証明はタワー則＋予測可能な賭け金。仮定（有界性）を破る倍賭け戦法が反例。
  • 収束定理：L1L^1 有界なマルチンゲールは概収束（アップクロッシング）。E[X∣Fn]\mathbb{E}[X\mid\mathcal{F}_n] の収束や 強法則を統一的に導く。

離散時間はここまで。次章は時間を連続にした極限——ブラウン運動。ランダムウォークを CLT で縮めた先に現れる、 連続だが至る所微分不可能な、確率解析の主役に会います。