第9章ブラウン運動

水に浮かぶ花粉が、無数の水分子に叩かれてでたらめに震える——ブラウンが顕微鏡で見たこの運動を、アインシュタインが理論化し、ウィーナーが数学的に厳密化しました。それがブラウン運動。離散のランダムウォークを、中心極限定理で連続時間へ縮めた極限に現れる、確率過程の王様です。連続なのにどこでも折れ曲がって微分できないという、常識を裏切る対象に会いに行きます。

ランダムウォークを縮める

第6章の CLT を思い出します。 $\pm1$ を独立に足す単純ランダムウォーク $S_n=\xi_1+\dots+\xi_n$ は、 $n$ ステップで標準偏差 $\sqrt{n}$ に広がる（ $\mathrm{Var}(S_n)=n$ ）。これを「時間 $1$ に $N$ 歩」の細かい歩幅にスケールし直しましょう。時刻 $t$ までに $\lfloor Nt\rfloor$ 歩、各歩を $1/\sqrt{N}$ に縮めると、

W_t^{(N)}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k=1}^{\lfloor Nt\rfloor}\xi_k.

CLT より、固定した $t$ で $W_t^{(N)}\xrightarrow{d}N(0,t)$ （分散が $t$ に収束）。歩幅を $1/\sqrt N$ にしたのは、まさに CLT の $\sqrt{n}$ 則に合わせるため——分散を潰さず形を保つ唯一のスケールです。この極限過程がブラウン運動。歩数を無限に細かくした「連続時間ランダムウォーク」です。

定義と存在

極限の性質を公理として抜き出します。

定義ブラウン運動（ウィーナー過程）

確率過程 $(W_t)_{t\ge0}$ がブラウン運動（標準）であるとは：

$W_0=0$ 。
独立増分： $0\le t_0<t_1<\dots<t_k$ に対し、増分 $W_{t_1}-W_{t_0},\dots,W_{t_k}-W_{t_{k-1}}$ は独立。
定常正規増分： $W_t-W_s\sim N(0,\,t-s)$ （ $s<t$ ）——増分は正規で、分散は経過時間に等しい。
連続な道：ほとんどすべての $\omega$ で $t\mapsto W_t$ は連続。

「本当にそんな過程が存在するのか」は自明ではありません。 $4$ を満たす連続な見本道を確率 $1$ で作れることを示したのがウィーナーの功績です。

定理ウィーナーの存在定理

上の $1$ – $4$ を満たす確率過程（ブラウン運動）が存在する。

構成の一つ（レヴィ）は美しい内挿です。まず $W_0=0,\ W_1\sim N(0,1)$ を決め、次に中点 $W_{1/2}$ を「両端の平均＋独立な正規ゆらぎ」で埋める。さらに各区間の中点を同様に埋める——これを二進的に無限に繰り返す。各段の補正が確率 $1$ で一様に小さくなる（ボレル–カンテリで押さえる）ので、極限が連続関数になり、増分が要求どおり独立正規になる。ランダムウォークの分散加法性 $\mathrm{Var}(W_t-W_s)=t-s$ が、そのまま条件 $3$ に化けています。

驚くべき性質

ブラウン運動の道は、私たちの微積分の常識を三重に裏切ります。

連続だが至る所微分不可能。 道 $t\mapsto W_t$ は確率 $1$ で連続なのに、どの点でも微分係数を持たない。直感的には、時間を $\Delta t$ 進めると変位は $\sim\sqrt{\Delta t}$ （分散 $\Delta t$ より）なので、傾き $\Delta W/\Delta t\sim 1/\sqrt{\Delta t}\to\infty$ 。どんなに拡大しても常にギザギザで、接線が引けない。複素解析や微積分で扱った滑らかな曲線とは別世界です。

自己相似（フラクタル）。 $c>0$ に対し $\frac{1}{\sqrt c}W_{ct}$ もまたブラウン運動。拡大しても縮小しても同じ統計的な姿——スケール不変。時間軸を $c$ 倍にしたら空間を $\sqrt c$ 倍する、あの $\sqrt{\ }$ 則がここにも。

二次変分が時間そのもの。 区間 $[0,t]$ を細かく刻むと、増分の二乗和が $t$ に収束する： $\sum (W_{t_{k+1}}-W_{t_k})^2\to t$ 。普通の滑らかな関数ならこれは $0$ 。ブラウン運動は「一乗和（全変動）は無限、二乗和は有限」という特異なバランスを持ち、これが次の伊藤解析で決定的に効きます。

そしてマルチンゲール（前章）との深い縁：

命題ブラウン運動はマルチンゲール

$(W_t)$ は（自然フィルトレーションについて）連続時間マルチンゲール： $s<t$ で $\mathbb{E}[W_t\mid\mathcal{F}_s]=W_s$ 。さらに $W_t^2-t$ もマルチンゲール（これが二次変分＝ $t$ の別表現）。

$\mathbb{E}[W_t\mid\mathcal{F}_s]=W_s+\mathbb{E}[W_t-W_s\mid\mathcal{F}_s]=W_s+0$ （独立増分で平均 $0$ ）。「今の位置が未来の最良予測」——ブラウン運動は連続時間の公平な賭けの原型です。前章の任意抽出定理も連続版が成り立ち、到達時刻の計算などに使えます。

伊藤解析への入り口

二次変分が $0$ でないことは、普通の微積分が使えないことを意味します。 $W_t$ に沿って積分 $\int_0^t f(W_s)\,dW_s$ を定義しようとすると、 $dW$ が $\sqrt{dt}$ のオーダーで、二乗が無視できない。結果、連鎖律が伊藤の公式に変わります：

d\,f(W_t)=f'(W_t)\,dW_t+\tfrac12 f''(W_t)\,dt.

普通の微積分にない第二項 $\frac12 f''\,dt$ ——これが二次変分 $dW^2=dt$ の落とし子です。この確率解析（伊藤積分）が、ブラウン運動を駆動項とする確率微分方程式を可能にし、金融のブラック–ショールズ方程式、拡散現象、フィルタリング理論へと展開します。本章はその入り口まで。

注意つまずきポイント

「連続なら微分できる」は誤り。 ブラウン運動が反例。連続性と微分可能性は別。至る所微分不可能な連続関数が「典型的」に存在する（測度 $1$ ）ことを、確率が教えてくれる。
$dW$ は $dt$ ではなく $\sqrt{dt}$ のオーダー。 だから $(dW)^2=dt$ が生き残る。ここを見落とすと伊藤の公式の第二項が理解できない。普通の微分の直感をそのまま持ち込まない。
増分は独立でも、 $W_t$ どうしは独立でない。 $W_s$ と $W_t$ （ $s<t$ ）は $\mathrm{Cov}=s$ で正の相関。独立なのは重ならない区間の増分。

この章のまとめ

ブラウン運動は、ランダムウォークを $\sqrt N$ スケールで縮めた連続時間極限。独立・定常な正規増分 $W_t-W_s\sim N(0,t-s)$ と連続な道で定義され、ウィーナーが存在を示した（中点内挿＋ボレル–カンテリ）。
道は連続だが至る所微分不可能、自己相似、二次変分＝ $t$ 。 $W_t$ も $W_t^2-t$ もマルチンゲール。
二次変分が $0$ でないため微積分が壊れ、連鎖律が伊藤の公式（ $+\frac12 f''dt$ ）に。確率解析・確率微分方程式の入り口。

これで確率論の本流——独立和から確率過程まで——を一通り見ました。残る三章は、この理論を現実のデータへ向ける 統計学へ。標本から母集団を推し量る推定・検定・ベイズを、これまでの定理を土台に組み立てます。

第9章 ブラウン運動