⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第4章 表現と群環

表現を「加群」として見る

ここまで表現を「群準同型 G→GL(V)G\to\mathrm{GL}(V)」として扱ってきました。この章では、視点を一段上げます。群 GG から 群環 C[G]\mathbb C[G] という一つの環を作ると、表現＝C[G]\mathbb C[G] 加群になる。加群論の道具立てが そっくり表現論に使えるようになり、理論が一気に見通しよくなります。

なぜ嬉しいか。既約表現＝単純加群、完全可約＝半単純、分解の一意性＝加群の構造——表現論の概念が、加群論の 一般論の特殊例として統一的に語れる。とくに、群環 C[G]\mathbb C[G] 自身を加群とみなした正則表現が、すべての 既約表現をその次元の重複度で含む、という美しい事実が見えてきます。

群環 C[G]\mathbb C[G] を作ると、表現＝C[G]\mathbb C[G] 加群。加群論の視点で表現論が統一的に見える。

群環

定義 群環

群 GG の群環 C[G]\mathbb C[G] とは、GG の元を基底とする C\mathbb C ベクトル空間

C[G]={∑g∈Gag g:ag∈C}\mathbb C[G]=\Big\{\textstyle\sum_{g\in G}a_g\,g : a_g\in\mathbb C\Big\}

に、群の積を線形に拡張した掛け算 (∑agg)(∑bhh)=∑g,hagbh (gh)\big(\sum a_g g\big)\big(\sum b_h h\big)=\sum_{g,h}a_g b_h\,(gh) を入れた環 （環論）。dim⁡CC[G]=∣G∣\dim_{\mathbb C}\mathbb C[G]=|G|。

C[G]\mathbb C[G] は「群の元を形式的に足し合わせられるようにした環」。GG が非可換なら C[G]\mathbb C[G] も非可換です。 この一つの環が、GG のすべての表現を統べます。

定理 表現 ＝ 群環の加群

GG の表現 ρ:G→GL(V)\rho:G\to\mathrm{GL}(V) を与えることと、VV に C[G]\mathbb C[G] 加群（加群論）の構造を 入れることは、同じ。スカラー倍を (∑agg)⋅v=∑agρ(g)v\big(\sum a_g g\big)\cdot v=\sum a_g\rho(g)v で定める。

証明

表現 ρ\rho から上の式でスカラー倍を定めると加群の公理をみたす。逆に C[G]\mathbb C[G] 加群 VV で、各 g∈Gg\in G の作用が ρ(g)\rho(g)（可逆、ρ(gh)=ρ(g)ρ(h)\rho(gh)=\rho(g)\rho(h)）を与える。両者は逆の対応。∎

これで辞書ができました。表現の言葉と加群の言葉が一対一に対応します。

注意 表現論 ↔ 加群論の辞書

表現論加群論（C[G]\mathbb C[G] 上）
表現 VVC[G]\mathbb C[G] 加群 VV
部分表現部分加群
既約表現単純加群（自明でない部分加群なし）
完全可約（マシュケ）C[G]\mathbb C[G] が半単純環
絡作用素 HomG\mathrm{Hom}_G加群準同型 HomC[G]\mathrm{Hom}_{\mathbb C[G]}

マシュケの定理は、加群論の言葉では「C[G]\mathbb C[G] は半単純環」（加群論の完全可約）。だから 表現論は「半単純環 C[G]\mathbb C[G] の加群論」として、一般論に吸収される。

正則表現——群環自身を表現とみなす

群環 C[G]\mathbb C[G] 自身を、GG が左から掛けて動く加群（＝表現）とみなしたものが正則表現です。これが特別なのは、 すべての既約表現を含むからです。

定義 正則表現

C[G]\mathbb C[G] を、GG が左から掛けて作用する C[G]\mathbb C[G] 加群とみなした表現を正則表現という。次数は ∣G∣|G|。gg の作用は基底 GG を置換する（左正則置換表現）。

定理 正則表現の分解

正則表現 C[G]\mathbb C[G] は、各既約表現 ViV_i（次元 did_i）を、その次元 did_i 回ずつ含む：

C[G] ≅ ⨁idi Vi.\mathbb C[G]\ \cong\ \bigoplus_i d_i\,V_i.

次元を比べると ∣G∣=∑idi2|G|=\sum_i d_i^2（次元の二乗和公式）。

証明

半単純環 C[G]\mathbb C[G] を自身上の加群として分解すると、各単純加群 ViV_i が dim⁡Vi=di\dim V_i=d_i 回現れる（半単純環の アルティン–ウェダーバーン分解、加群論）。両辺の次元 ∣G∣=∑di⋅di=∑di2|G|=\sum d_i\cdot d_i=\sum d_i^2。∎

正則表現は「すべての既約表現の見本市」です。各既約 ViV_i が、その次元 did_i 回ちょうど入っている。次元を 数えると ∣G∣=∑di2|G|=\sum d_i^2——既約表現の次元の二乗和が群の位数という、表現論の基本等式が出ます。S3S_3 なら 6=12+12+226=1^2+1^2+2^2、位数 88 なら 8=12⋅4+228=1^2\cdot4+2^2（D4,Q8D_4,Q_8）や 8=12⋅88=1^2\cdot8（可換群）。この等式が、既約表現の 次元を強く制約します（第8章で指標理論の中心公式として再登場）。

注意 なぜ群環の視点が強力か

「表現をひとつずつ」でなく「GG のすべての表現を統べる環 C[G]\mathbb C[G] をまとめて」扱えるのが群環の強み。 アルティン–ウェダーバーンの定理により、半単純環 C[G]\mathbb C[G] は行列環の直積 ∏iMdi(C)\prod_i M_{d_i}(\mathbb C) に分解し、 各因子が一つの既約表現に対応する。だから「GG の既約表現をすべて見つける」＝「C[G]\mathbb C[G] を行列環の積に 分解する」。加群論の構造論が、表現の分類そのものになる。次章からの指標理論は、この分解を “数”（トレース）で実行する技術。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 表現＝群環の加群。 C[G]\mathbb C[G] 加群と表現は同じもの。部分表現＝部分加群、既約＝単純加群。加群論の辞書で 読み替える。
  • マシュケ＝C[G]\mathbb C[G] が半単純環。 完全可約性の加群論的言い換え。表現論が半単純環論に吸収される。
  • 正則表現は各既約を次元回含む。 C[G]≅⨁diVi\mathbb C[G]\cong\bigoplus d_i V_i。だから ∣G∣=∑di2|G|=\sum d_i^2。すべての既約が 正則表現に現れる。
  • ∣G∣=∑di2|G|=\sum d_i^2 は次元を制約する。 位数から既約の次元の候補が絞れる。第8章の中心公式。

この章のまとめ

  • 群環 C[G]\mathbb C[G]（GG の元を基底とし群積を拡張した環、dim⁡=∣G∣\dim=|G|）を作ると、表現＝C[G]\mathbb C[G] 加群。加群論の辞書（既約＝単純加群、完全可約＝半単純環）で統一的に扱える。
  • 正則表現 C[G]\mathbb C[G]（群環自身）は、各既約 ViV_i を次元 did_i 回含む：C[G]≅⨁diVi\mathbb C[G]\cong\bigoplus d_i V_i。ゆえに**∣G∣=∑di2|G|=\sum d_i^2**（次元の二乗和公式）。
  • アルティン–ウェダーバーンで C[G]≅∏Mdi(C)\mathbb C[G]\cong\prod M_{d_i}(\mathbb C)——既約の分類＝群環の行列環分解。
  • Part I（表現の基礎）はここまで。次章から指標理論へ。表現の全情報を「トレース」という数個の数に凝縮する——指標を導入します。

次章では、指標（表現のトレース）を定義し、それが同値・共役で不変な類関数であること、表現の全情報を担うことを見ます。