⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第3章 シューアの補題

既約表現をつなぐ写像は、ほとんどない

前章で「表現は既約の直和に分解する」（マシュケ）と分かりました。この分解を精密に扱う——重複度の一意性を 示し、指標理論（第5章以降）を基礎づける——ために、決定的な道具が要ります。それがシューアの補題。

主張は驚くほど簡潔です。既約表現の間の“表現を保つ写像”（絡作用素）は、ゼロか同型しかない。しかも同じ 既約表現への自己準同型は、スカラー倍だけ。 たったこれだけ。でもこの一言が、表現論の骨格を支えます。 既約表現が「これ以上分けられない」ことの、写像の側からの言い換えです。

シューアの補題：既約表現間の絡作用素はゼロか同型。同じ既約への自己絡作用素はスカラー倍だけ。

絡作用素とシューアの補題

前章で導入した絡作用素——表現の掛け算と可換な線形写像——を、既約表現に対して調べます。

定義 絡作用素

表現 ρ:G→GL(V), σ:G→GL(W)\rho:G\to\mathrm{GL}(V),\ \sigma:G\to\mathrm{GL}(W) の間の絡作用素とは、線形写像 T:V→WT:V\to W で

Tρ(g)=σ(g)T(∀g∈G)T\rho(g)=\sigma(g)T\quad(\forall g\in G)

をみたすもの（表現の作用と可換）。絡作用素の全体を HomG(V,W)\mathrm{Hom}_G(V,W) と書く。

定理 シューアの補題

V,WV,W を有限群 GG の複素既約表現とする。

  1. V,WV,W が同値でないなら、絡作用素は 00 のみ：HomG(V,W)=0\mathrm{Hom}_G(V,W)=0。
  2. V=WV=W（同じ既約）なら、絡作用素はスカラー倍だけ：HomG(V,V)=C⋅id\mathrm{Hom}_G(V,V)=\mathbb C\cdot\mathrm{id}。

証明

(1) T:V→WT:V\to W を絡作用素とする。ker⁡T\ker T は VV の不変部分空間（Tρ(g)v=σ(g)TvT\rho(g)v=\sigma(g)Tv より）。VV 既約ゆえ ker⁡T=0\ker T=0（TT 単射）か ker⁡T=V\ker T=V（T=0T=0）。同様に im⁡T\operatorname{im}T は WW の不変部分空間で、WW 既約ゆえ 00 か WW。T≠0T\ne0 なら単射かつ全射＝同型で、V≅WV\cong W（同値）。同値でなければ T=0T=0。 (2) T:V→VT:V\to V を絡作用素とする。C\mathbb C は代数閉なので TT は固有値 λ\lambda をもつ。T−λ idT-\lambda\,\mathrm{id} も 絡作用素で、固有ベクトルの存在から ker⁡(T−λ id)≠0\ker(T-\lambda\,\mathrm{id})\ne0。(1) の議論より T−λ idT-\lambda\,\mathrm{id} は 単射でない絡作用素＝00。ゆえに T=λ idT=\lambda\,\mathrm{id}。∎

証明の要は「絡作用素の核・像が不変部分空間になる」こと——既約性から、それらは自明（00 か全体）しかない。 だからゼロか同型。(2) では複素数（代数閉）だから固有値があることが効いて、自己絡作用素がスカラーに 潰れます（線形代数・第1章の複素で考える理由）。シンプルな 証明ですが、帰結は絶大です。

帰結——分解の一意性と重複度

シューアの補題の最初の果実が、前章で保留した「既約分解の重複度の一意性」です。絡作用素の空間の次元が、 重複度を数えます。

定理 重複度は絡作用素で数えられる

既約分解 V≅⨁imiViV\cong\bigoplus_i m_i V_i（ViV_i 相異なる既約、mim_i 重複度）に対し、既約表現 VjV_j との絡作用素の空間は

dim⁡HomG(Vj, V)=mj.\dim\mathrm{Hom}_G(V_j,\ V)=m_j.

とくに重複度 mjm_j は分解の仕方によらず一意。VV が既約   ⟺  dim⁡HomG(V,V)=1\iff\dim\mathrm{Hom}_G(V,V)=1。

証明

HomG(Vj,⨁imiVi)=⨁imiHomG(Vj,Vi)\mathrm{Hom}_G(V_j,\bigoplus_i m_i V_i)=\bigoplus_i m_i\mathrm{Hom}_G(V_j,V_i)。シューアより HomG(Vj,Vi)\mathrm{Hom}_G(V_j,V_i) は i=ji=j で C\mathbb C（11 次元）、i≠ji\ne j で 00。ゆえに次元は mjm_j。∎

「VjV_j から VV への絡作用素が何次元か」を数えれば、VV に VjV_j が何個入っているか（重複度 mjm_j）が分かる。 シューアの補題（絡作用素はゼロか同型・スカラー）が、この“数え上げ”を可能にします。マシュケ（分解の存在）と シューア（重複度の一意性）で、表現の分類の枠組みが完成しました。あとは重複度をどう計算するか——それが 第5章の指標です。

可換群の既約表現はすべて1次元

シューアの補題の鮮やかな応用。可換群の複素既約表現は、すべて 11 次元。これは可換群の表現論を劇的に単純に します。

定理 アーベル群の既約表現

GG が可換群なら、GG の複素既約表現はすべて 11 次元（＝指標 G→C×G\to\mathbb C^\times）。既約表現の個数は ∣G∣|G|。

証明

GG 可換なので、各 h∈Gh\in G に対し ρ(h)\rho(h) は GG の作用と可換（ρ(h)ρ(g)=ρ(g)ρ(h)\rho(h)\rho(g)=\rho(g)\rho(h)）——つまり ρ(h)\rho(h) 自身が絡作用素。既約表現の自己絡作用素はスカラー（シューア (2)）だから ρ(h)=λh id\rho(h)=\lambda_h\,\mathrm{id}。 よってすべての ρ(h)\rho(h) がスカラー行列で、任意の 11 次元部分空間が不変。既約なら dim⁡V=1\dim V=1。∎

可換群では「群の全元がスカラー行列」——だから 11 次元に潰れる。リー群で SU(2)\mathrm{SU}(2) （非可換）の既約表現が高次元になったのと対照的です。Z/n\mathbb Z/n の既約表現が nn 個の 11 次指標 （χk(j)=e2πikj/n\chi_k(j)=e^{2\pi ikj/n}）だけなのは、これの帰結。可換群の表現論＝11 次指標の理論（フーリエ解析の 離散版）です。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • シューア：既約間の絡作用素はゼロか同型、自己絡作用素はスカラー。 核・像が不変部分空間になるから。C\mathbb C （代数閉）で (2) が効く。
  • 重複度は絡作用素の次元で数える。 dim⁡HomG(Vj,V)=mj\dim\mathrm{Hom}_G(V_j,V)=m_j。だから重複度は一意（分解によらない）。
  • 可換群の既約表現は全部1次元。 全元がスカラー行列（シューア）。非可換群は高次元既約をもちうる。
  • 絡作用素は表現の作用と可換な写像。 ただの線形写像でなく Tρ(g)=σ(g)TT\rho(g)=\sigma(g)T。表現を保つ写像。

この章のまとめ

  • シューアの補題：既約表現間の絡作用素はゼロか同型、同じ既約への自己絡作用素はスカラー倍（HomG(V,V)=C id\mathrm{Hom}_G(V,V)=\mathbb C\,\mathrm{id}）。証明は核・像が不変部分空間＋C\mathbb C で固有値がある。
  • 帰結：既約分解の重複度 mj=dim⁡HomG(Vj,V)m_j=\dim\mathrm{Hom}_G(V_j,V) は一意（マシュケの存在＋シューアの一意性で分類の枠組み完成）。
  • 可換群の既約表現はすべて1次元（全元がスカラー行列）＝11 次指標。Z/n\mathbb Z/n の既約は nn 個。
  • 分解の枠組みが揃った。次章では、表現を「群環の加群」として捉え直し、加群論の視点で表現論を見通します。

次章では、群環 C[G]\mathbb C[G] を導入し、表現＝群環の加群であること、正則表現との関係を加群論の言葉で整理します。