第1章環とは何か

「足し算と掛け算がある世界」を抜き出す

群論では、演算が一つ（掛け算だけ、または足し算だけ）の世界を調べました。でも私たちが本当に慣れ親しんだ数の世界——整数 $\mathbb Z$ ——には、足し算と掛け算の両方があり、しかも分配法則 $a(b+c)=ab+ac$ で結びついています。多項式もそう。行列もそう。 $\bmod\,n$ の計算もそう。

この「足し算と掛け算をもち、分配法則で繋がった世界」を抽象化したものが環です。整数で慣れた「割り切れる」「素数」「余り」といった概念を、もっと広い舞台で通用する形に鍛え直す——それが環論の仕事です。そして環論は、体論・ガロア理論、代数的整数論、代数幾何学という数学の主要分野すべての共通言語になります。

環＝足し算（アーベル群）と掛け算（結合的）が分配法則で結ばれた世界。整数・多項式・行列・ $\bmod\,n$ を統一する。

環の定義

定義環

集合 $R$ と2つの演算 $+,\ \cdot$ の組が環とは：

$(R,+)$ はアーベル群（単位元 $0$ 、 $a$ の逆元 $-a$ ）。
$(R,\cdot)$ は結合的で、乗法単位元 $1$ をもつ（ $1\cdot a=a\cdot1=a$ ）。
分配法則： $a(b+c)=ab+ac$ 、 $(a+b)c=ac+bc$ 。

乗法が可換（ $ab=ba$ ）のとき可換環という。以後、断らなければ可換環を扱う（行列環など非可換環は必要に応じて明記）。

足し算については「群」の全性質（可換）、掛け算については「結合則＋単位元」だけを要求し（逆元は要求しない！）、両者を分配法則が繋ぐ。掛け算の逆元を要求しないのが群との決定的な違いで、そこから「割り切れる／割り切れない」という豊かな整除の理論が生まれます。基本的な帰結を確認します。

命題基本性質

任意の環で $0\cdot a=a\cdot0=0$ 、 $(-a)b=-(ab)$ 、 $(-a)(-b)=ab$ 。

証明

$0\cdot a=(0+0)a=0\cdot a+0\cdot a$ 、両辺から $0\cdot a$ を引いて $0\cdot a=0$ 。 $ab+(-a)b=(a+(-a))b=0\cdot b=0$ より $(-a)b=-(ab)$ 。 $(-a)(-b)=-(a(-b))=-(-(ab))=ab$ 。∎

「 $0$ を掛けると $0$ 」という当たり前の事実すら、分配法則から証明されます。

例環の例

$\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C$ ：おなじみの数の環（可換）。 $\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C$ は体（後述）。
$\mathbb Z/n\mathbb Z=\mathbb Z_n$ ： $\bmod\,n$ の剰余環（可換）。
多項式環 $R[x]$ ：係数が環 $R$ の多項式（可換なら可換）。
行列環 $M_n(R)$ ： $n\times n$ 行列（ $n\ge2$ で非可換）。
ガウス整数 $\mathbb Z[i]=\{a+bi:a,b\in\mathbb Z\}$ （代数的整数論への入口）。

部分環

定義部分環

$R$ の部分集合 $S$ が部分環とは、 $S$ が $R$ の演算で環をなし、 $1_R\in S$ であること（ $S$ が加法で閉じ・逆元をもち、乗法で閉じ、 $1$ を含む）。

例： $\mathbb Z\subseteq\mathbb Q\subseteq\mathbb R\subseteq\mathbb C$ 、 $\mathbb Z[i]\subseteq\mathbb C$ 。部分環は「小さい環」ですが、次章のイデアルとは別物です（イデアルは $1$ を含まないことが多く、掛け算で環全体を吸い込む）。混同注意です。

単元・零因子——環を特徴づける2つの現象

環の個性は、掛け算をめぐる2つの現象——「逆数をもつ元」と「掛けて $0$ になる非零元」——に現れます。

定義単元・零因子・整域・体

$u\in R$ が単元（可逆元）とは、 $uv=vu=1$ となる $v$ （＝ $u^{-1}$ ）があること。単元全体 $R^\times$ は乗法群。 $a\ne0$ が零因子とは、 $ab=0$ となる $b\ne0$ があること。零因子をもたない（ $ab=0\Rightarrow a=0$ or $b=0$ ）可換環で $1\ne0$ のものを整域、 $0$ 以外のすべての元が単元である可換環を体という。体 ⊂ 整域。

$\mathbb Z$ は整域（掛けて $0$ なら片方が $0$ ）ですが体ではありません（単元は $\pm1$ だけ）。 $\mathbb Q$ は体。 $\mathbb Z_6$ では $2\cdot3=0$ なのに $2,3\ne0$ —— $2,3$ は零因子で、 $\mathbb Z_6$ は整域ではありません。 整域では消去律 $ab=ac,a\ne0\Rightarrow b=c$ が成り立つ（零因子が無いから）——整数の割り算の感覚が使える環です。

下で $\mathbb Z_n$ の乗法表を見てください。 $n$ を変えると、単元（青）と零因子（赤）の分布が変わります。 $n$ が素数のときだけ零因子が消え、 $\mathbb Z_n$ は体になる——この事実が、次章以降の素イデアル・極大イデアルの原型です。

n = 6 単元零因子 0

命題 Z/n が体になる条件

$\mathbb Z_n$ が体 $\iff \mathbb Z_n$ が整域 $\iff n$ が素数。一般に $a\in\mathbb Z_n$ が単元 $\iff\gcd(a,n)=1$ 。

証明

$\gcd(a,n)=1$ なら、ベズーの等式 $ax+ny=1$ より $ax\equiv1\pmod n$ 、 $a$ は単元。 $\gcd(a,n)=d>1$ なら $a\cdot(n/d)\equiv0$ で $n/d\not\equiv0$ ゆえ $a$ は零因子（可逆でない）。 $n$ 素数なら $1,\dots,n-1$ すべて $n$ と互いに素で単元＝体。 $n$ 合成なら $1<a<n$ で $a\mid n$ となる $a$ が零因子ゆえ整域でない。∎

有限整域は必ず体になる（有限性が単元性を強制する）という事実の、最も基本的な例です。

標数

環に「 $1$ を何回足すと $0$ になるか」という不変量があります。

定義標数

$\underbrace{1+1+\cdots+1}_{n}=0$ となる最小の正整数 $n$ を環 $R$ の標数 $\operatorname{char}(R)$ という（存在しなければ $0$ ）。 $\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R$ は標数 $0$ 、 $\mathbb Z_n$ は標数 $n$ 、素数 $p$ を法とする体 $\mathbb F_p=\mathbb Z_p$ は標数 $p$ 。

命題整域の標数は 0 か素数

整域（特に体）の標数は $0$ か素数。

証明

標数 $n=kl$ （ $1<k,l<n$ ）と合成数なら、 $(k\cdot1)(l\cdot1)=n\cdot1=0$ で $k\cdot1,l\cdot1\ne0$ （ $n$ の最小性）となり零因子。整域に反する。ゆえに標数は $0$ か素数。∎

標数 $p$ の世界（有限体、ガロア理論）では「 $px=0$ 」が効いて、 $(a+b)^p=a^p+b^p$ （フロベニウス！）という不思議な等式が成り立ちます。標数は体論・数論で決定的な役割を果たす基本量です。

つまずきポイント

注意よくある誤解

環は掛け算の逆元を要求しない。 そこが群との違い。逆元をもつ元が単元で、全非零元が単元なら体。「割れるか」が環論の主題。
整域と体は違う。 $\mathbb Z$ は整域だが体でない。体 ⊂ 整域。有限整域は体になる（特別）。
部分環とイデアル（次章）は別物。 部分環は $1$ を含む小さい環、イデアルは掛け算で環を吸い込む部分集合（ $1$ を含めば環全体）。
零因子は非零元。 $0$ 自身は零因子に数えない。 $ab=0$ でも $a,b$ が両方非零のときだけ零因子。

この章のまとめ

環は足し算（アーベル群）＋掛け算（結合・単位元）＋分配法則。整数・多項式・行列・ $\mathbb Z_n$ を統一。掛け算の逆元は要求しない。
環の個性は単元（可逆元 $R^\times$ ）と零因子（掛けて $0$ の非零元）に現れる。零因子の無い可換環が整域、全非零元が単元なら体。 $\mathbb Z_n$ が体 $\iff n$ 素数。
標数（ $1$ を何回足すと $0$ ）は整域では $0$ か素数。標数 $p$ の世界がフロベニウス・有限体を生む。

次章は、環を「割る」ための部分集合——イデアルと剰余環を導入します。

第1章 環とは何か